আজকে আমাদের আলোচনার বিষয়ঃ অনুপাত ও সমানুপাত । এটি নবম – দশম শ্রেনী গণিতের বীজগাণিতিক অনুপাত ও সমানুপাত এর অন্তর্গত।
অনুপাত ও সমানুপাত
অনুপাত ( Ratio)
একই এককে সমজাতীয় দুইটি রাশির পরিমাণের একটি অপরটির কত গুণ বা কত অংশ তা একটি ভগ্নাংশ দ্বারা প্রকাশ করা যায়। এই ভগ্নাংশটিকে রাশি দুইটির অনুপাত বলে।
দুইটি রাশি p ও q এর অনুপাতকে p/q = P লিখা হয়। G রাশি দুইটি সমজাতীয় ও একই এককে প্রকাশিত হতে হবে। অনুপাতে p কে পূর্ব রাশি এবং q কে উত্তর রাশি বলা হয়।
অনেক সময় আনুমানিক পরিমাপ করতেও আমরা অনুপাত ব্যবহার করি। যেমন, সকাল ৪ টায় রাস্তায় যে সংখ্যক গাড়ী থাকে, 10 টায় তার দ্বিগুণ গাড়ী থাকে। এ ক্ষেত্রে অনুপাত নির্ণয়ে গাড়ীর প্রকৃত সংখ্যা জানার প্রয়োজন হয় না। আবার অনেক সময় আমরা বলে থাকি, তোমার ঘরের আয়তন আমার ঘরের আয়তনের তিনগুণ হবে। এখানেও ঘরের সঠিক আয়তন জানার প্রয়োজন হয় না। বাস্তব জীবনে এরকম অনেক ক্ষেত্রে আমরা অনুপাতের ধারণা ব্যবহার করে থাকি।
সমানুপাত (Proportion)
যদি চারটি রাশি এরূপ হয় যে, প্রথম ও দ্বিতীয় রাশির অনুপাত তৃতীয় ও চতুর্থ রাশির অনুপাতের সমান হয়, তবে ঐ চারটি রাশি নিয়ে একটি সমানুপাত উৎপন্ন হয়। a, b, c, d এরূপ চারটি রাশি হলে আমরা লিখি a b = c : d। সমানুপাতের চারটি রাশিই একজাতীয় হওয়ার প্রয়োজন হয় না। প্রত্যেক অনুপাতের রাশি দুইটি এক জাতীয় হলেই চলে।
উপরের চিত্রে, দুইটি ত্রিভুজের ভূমি যথাক্রমে a ও b এবং এদের প্রত্যেকের উচ্চতা h একক। ত্রিভুজদ্বয়ের ক্ষেত্রফল A ও B বর্গ একক হলে আমরা লিখতে পারি
A/B = 1/2ah/1/2bh = a/b বা, A : B = a : b
অর্থাৎ, ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত ভূমিদ্বয়ের অনুপাতের সমান।
ক্রমিক সমানুপাতী (Continued proportion)
a, b, c ক্রমিক সমানুপাতী বলতে বোঝায় a : b = b:c
a, b, c ক্রমিক সমানুপাতী হবে যদি এবং কেবল যদি b2 = ac হয়। ক্রমিক সমানুপাতের ক্ষেত্রে সবগুলো রাশি এক জাতীয় হতে হবে। এক্ষেত্রে c কে a ও b এর তৃতীয় সমানুপাতী এবং b কে a ও c এর মধ্যসমানুপাতী বলা হয় ।
উদাহরণ ১.
A ও B নির্দিষ্ট পথ অতিক্রম করে যথাক্রমে t1 এবং t2 মিনিটে। A ও B এর গড় গতিবেগের অনুপাত নির্ণয় কর।
সমাধান:
মনে করি, A ও B এর গড় গতিবেগ প্রতি মিনিটে যথাক্রমে v1 মিটার ও v2 মিটার। তাহলে, t1 মিনিটে A অতিক্রম করে v1t1 মিটার এবং t2 মিনিটে B অতিক্রম করে v2t2 মিটার।
প্রশ্নানুসারে, v1t1 = v2t2
v1/v2 = t1/t2
এখানে গতিবেগের অনুপাত সময়ের ব্যস্ত অনুপাতের সমান।
অনুপাতের রূপান্তর
এখানে অনুপাতের রাশিগুলো ধনাত্মক সংখ্যা।
১. a : b = c d হলে, b : a = dc [ব্যস্তকরণ (Invertendo) ]
প্রমাণ: দেওয়া আছে,
a/b = c/d
বা, ad = bc [উভয়পক্ষকে bd দ্বারা গুণ করে]
বা, ad/ac = bc/ac [উভয় পক্ষকে ac দ্বারা ভাগ করে যেখানে a, c এর কোনটিই শূন্য নয়]
বা, d/c = b/a
অর্থাৎ, b : a = d : c
২. a : b = c : d হলে, a : c = b : d [একান্তরকরণ (Alternendo)]
প্রমাণ: দেওয়া আছে,
বা, ad = bc [উভয়পক্ষকে bd দ্বারা গুণ করে ]
বা, ad/cd = bc/cd [উভয় পক্ষকে cd দ্বারা ভাগ করে যেখানে c, d এর কোনটিই শূন্য নয়]
বা, a/c =b/d
অর্থাৎ, a : c = b : d
৩. a : b = c : d হলে,
প্রমাণ: দেওয়া আছে,
(a+b)/b = (c+d)/d [যোজন (Componendo)]
প্রমাণ: দেওয়া আছে,
a/b = c/d
বা, a/b + 1= c/d + 1 [উভয়পক্ষে 1 যোগ করে ]
অর্থাৎ, (a+b)/b = (c+d)/d
8. a : b = c : d হলে, (a-b)/b = (c-d)/d [বিয়োজন (Dividendo )]
প্রমাণ: দেওয়া আছে,
a/b = c/d
বা, a/b – 1= c/d – 1 [উভয়পক্ষ থেকে 1 বিয়োগ করে]
অর্থাৎ, (a-b)/b = (c-d)/d
৫. a:b=c: d হলে, (a+b)/(a-b) = (c+d)/(c-d) [যোজন বিয়োজন (Componendo Dividendo ) ]
প্রমাণ: দেওয়া আছে, a : b = c : d
বা, a/b = c/d
যোজন করে পাই, (a+b)/b = (c+d)/d …(1)
আবার বিয়োজন করে পাই, (a-b)/b = (c-d)/d
বা, b/(a-b) = d/(c-d) [ব্যস্তকরণ করে] … (2)
সুতরাং,(a+b)/b x b/(a-b) = (c+d)/d x d/(c-d) [(1) ও (2) গুণ করে ]
অর্থাৎ, (a+b)/(a-b) = (c+d)/(c-d) [এখানে a ≠ b,c ≠ d]
৬. a/b = c/d = e/f = g/h প্রত্যেকটি অনুপাত = (a+c+e+g)/(b+d+f+h)
প্রমাণ: মনে করি,
a/b = c/d = e/f = g/h = k
a = bk, c = dk, e = fk, g = hk
(a+c+e+g)/(b+d+f+h) = (bk+dk+fk+hk)/(b+d+f+h) = k( b+d+f+h )/(b+d+f+h) = k
কিন্তু k প্রদত্ত সমানুপাতের প্রত্যেকটি অনুপাতের সমান।
a/b = c/d = e/f = g/h = (a+c+e+g)/(b+d+f+h)
উদাহরণ ২.
পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের অনুপাত 7 : 2 এবং 5 বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত ৪ : 3 হবে। তাদের বর্তমান বয়স কত?
সমাধান:
মনে করি, পিতার বর্তমান বয়স a বছর এবং পুত্রের বর্তমান বয়স b বছর।
প্রশ্নের প্রথম ও দ্বিতীয় শর্তানুসারে যথাক্রমে পাই,
a/b = 7/2 …….(1)
(a +5) /(b+5) = 8/3 …….(2)
সমীকরণ (1) থেকে পাই,
a = 7b/2 ………..(3)
সমীকরণ (2) থেকে পাই,
3(a+5)=8(b+5)
বা, 3a + 15 = 8b + 40
বা, 3a – 8b = 40 – 15
বা, 3 x 7b/2 – 8b = 25 [ (3) ব্যবহার করে]
বা, (21b – 16b)/2 = 25
বা, 5b = 50
b = 10
সমীকরণ (3) এ b = 10 বসিয়ে পাই, a = (7 x 10)/ 2 = 35
পিতার বর্তমান বয়স 35 বছর এবং পুত্রের বর্তমান বয়স 10 বছর।
উদাহরণ ৩.
যদি a : b = b : c হয়, তবে প্রমাণ কর যে, {(a +b) /(b+c)}2 = (a² + b²)/ (b2+ c²)
সমাধান: দেওয়া আছে, a : b = b:c
b² = ac
এখন, {(a +b) /(b+c)}2 = (a + b)2 /(b+c)2
= a²+2ab+b² /b2+2bc + c²
= a²+2ab+ ac /ac+2bc + c2
=a(a + 2b+c)/c(a + 2b+c)
= а/c
আবার, a²+b²/ b2+ c² = a² + ac/ ac + c²
= a(a+c) /c(a+c)
= a/c
{(a +b) /(b+c)}2 = (a + b)2 /(b+c)2
উদাহরণ ৪.
a/b = c/d হলে, দেখাও যে, a² + b²/ a² – b2 = ac + bd /ac – bd
সমাধান:
মনে করি, a/b = c/d =k
a = bk এবং c = dk
এখন, a² + b²/a² – b2 = (bk)2+b² /(bk)² – b² = b²(k² + 1)/b² (k² – 1) = k²+1 /k2 – 1
এবং ac + bd/ ac – bd = bk.dk + bd/bk.dk – bd = bk(k² + 1)/bk(k2 – 1) = k2+1/ k2 – 1
a² + b²/a2 – b2 = ac + bd /ac-bd
উদাহরণ ৫.
সমাধান কর:
(1 – ax /1+ ax )√(1+ bx/1 – bx) = 1 যেখানে 0<b< 2a < 2b
সমাধান:
দেওয়া আছে, (1 – ax /1+ ax )√(1+ bx/1 – bx) = 1
বা, √(1+ bx/1 – bx) = 1+ ax/ 1-ax =
বা, (1+ bx/1 – bx) = (1+ax) 2 /(1 – ax)² [উভয় পক্ষকে বর্গ করে]
বা, (1+ bx/1 – bx) = (1+2ax+ a2x2)/((1-2ax+ a2x2)
বা, (1 + bx +1-bx)( 1+ bx – 1 + bx) = (1+2ax+a²x²+1-2ax + a²x²) (1+2ax+ a2x2 – 1+2ax – a²x²) [যোজন বিয়োজন করে]
বা, 2/2bx = 2(1+ a²x²)/4ax
বা, 2ax = bx(1+a²x²)
বা, x{2a-b(1+a²x²)} = 0
x = 0
অথবা, 2a-b(1+a²x²) = 0
বা, b(1+a²x²)=2a
বা, 1+ a2x2 = 2a/b
বা, a2x2 = 2a/b – 1
বা, x2 = 1/a2(2a/b – 1)
বা, x = ± 1/a√(2a/b – 1)
নির্ণেয় সমাধান x = 0, ± 1/a√(2a/b – 1)
উদাহরণ ৬.
√(1+x)+√(1−x) /√(1+x)-√(1−x)= p হলে, প্রমাণ কর যে, p2 – 2p/x +1=0
সমাধান: দেওয়া আছে, √(1+x)+√(1−x) /√(1+x)-√(1−x)= p
বা, √(1+x)+√(1−x) + √(1+x)-√(1−x)/√(1+x)+√(1−x) – √(1+x)-√(1−x) = p+1/ p-1 [যোজন বিয়োজন করে]
বা, 2√(1+x)/2√(1−x) = p+1/ p-1
বা, √(1+x)/√(1−x) = p+1/ p-1
বা, 1+x/(1−x) = (p+1)2/ (p-1)² = p²+2p+1/p² – 2p+1 [উভয় পক্ষকে বর্গ করে]
বা, 1+x + 1 – x /1+x – 1 + x = p²+2p+1 + p² – 2p+1 / p²+2p+1 – p² + 2p-1 [যোজন বিয়োজন করে ]
বা, 2/2x = 2(p²+1)/4p
বা, p²+1 = 2p/x
বা, p² – 2p/x +1 = 0
উদাহরণ ৭.
(a3+b3)/(a-b+c) = a(a + b) হলে প্রমাণ কর যে, a, b, c ক্রমিক সমানুপাতী।
সমাধান:
দেওয়া আছে, (a3+b3)/(a-b+c) = a(a+b)
বা, (a + b) (a2 – ab + b2)/( a-b+c) = a(a + b)
বা, (a² – ab+b²)/( a-b+c) = a [উভয়পক্ষকে (a + b) দ্বারা ভাগ করে]
বা, a2 – ab + b2 = a2 – ab + ac
বা, b2 = ac
a, b, c ক্রমিক সমানুপাতী।
উদাহরণ ৮.
যদি (a+b)/(b+c) = (c+d)/(d+a) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, c = a অথবা a + b + c + d = 0
সমাধান:
দেওয়া আছে, (a+b)/(b+c) = (c+d)/(d+a)
বা, (a+b)/(b+c) -1= (c+d)/(d+a) – 1 [উভয়পক্ষ থেকে 1 বিয়োগ করে]
বা, (a+b-b-c)/(b+c) = (c+d-d-a)/(d+a)
বা, (a-c)/(b+c) = (c-a)/(d+a)
বা, (a-c)/(b+c) = -(a-c)/(d+a)
বা, (a-c)/(b+c) + (a-c)/(d+a) = 0
বা, (a − c) (1/b + c + 1/ d+a) = 0
বা, (a − c)(d+a+b+c)/(b+c) (d+a) = 0
বা, (a−c)(d+a+b+c)=0
বা, a – c = 0 অথবা, d+a+b+c=0
c = a অথবা, a+b+c+d=0
উদাহরণ ৯.
যদি x/(y+z) = y/(z+x) = z/(x+y) এবং x, y, z সকলে পরস্পর সমান না হয়, 1 প্রমাণ কর যে, প্রতিটি অনুপাতের মান -1 অথবা 1/2 এর সমান হবে।
সমাধান:
মনে করি, x/(y+z) = y/(z+x) = z/(x+y) = k
x = k(y + z)…(1)
y = k(z+x)…(2)
z = k(x + y)… (3)
সমীকরণ (1) থেকে (2) বিয়োগ করে পাই,
x – y = k(y – x) বা, k(y – x) = −(y-x)
k = -1
আবার, সমীকরণ (1), (2) ও (3) যোগ করে পাই,
x+y+z = k(y + z + z + x + x + y) = 2k(x + y + z)
বা, k = (x + y + z)/2(x + y + z)
k = 1/2
প্রতিটি অনুপাতের মান – 1 অথবা 1/2
উদাহরণ ১০.
যদি ax = by = cz হয়, তবে দেখাও যে, x2/yz + y2/zx + z2/xy = bc/a2 + ca/b2 + ab/c2
সমাধান:
মনে করি, ax = by = cz = k
x = k/a, y = k/b, z = k/c
এখন, x2/yz + y2/zx + z2/xy = k2/a2 x bc/k2 + k2/b2 x ca/k2 + k2/c2 x ab/k2
অর্থাৎ x2/yz + y2/zx + z2/xy = bc/a2 + ca/b2 + ab/c2
উদাহরণ ১১.
a, b, c ও d ক্রমিক সমানুপাতিক এবং x = 10pq /p+q
ক) দেখাও যে, a/с – (a² + b²)/( b2+ c²)
খ) (a² + b² + c²) (b² + c² + d²) = (ab+bc + cd)²
গ) x+5p/x-5p = x+5q/x-5q এর মান নির্ণয় কর, যেখানে p ≠ q
সমাধান:
ক) দেওয়া আছে, a : b = b : c বা, a/b = b/c, ac = b²
ডানপক্ষ = (a² + b²)/(b2+ c²) = (a² + ac)/(ac+ c²) = a(a+c)/c(a + c) = a/c = বামপক্ষ
a/c = (a² + b²)/(b2+ c²)
খ) দেওয়া আছে, a, b, c ও d ক্রমিক সমানুপাতিক
a/b = b/c = c/d
ধরি, a/b = b/c = c/d = k, যেখানে একটি সমানুপাতিক ধ্রুবক
c/d = k
বা, c = dk
b/c = k
বা, b = ck = dk.k = dk2
a/b = k
বা, a = bk = dk2. k = dk³
বামপক্ষ = (a²+b² + c²) (b² + c² + d²)
= {(dk³)² + (dk²)² + (dk)²} {(dk²)² + (dk)² + d²}
= (d2k6 + d²k4 + d2k²) (d²k4 + d²k² +d²)
= d² k² (k4 + k² + 1)d² (k4 + k² + 1)
= d4k² (k¹ + k² + 1)²
ডানপক্ষ = (ab+bc+cd)²
= (dk³· dk² + dk².dk + dk. d)²
= (d²k5 + d² k³ + d²k)²
= {d²k(k4 + k² + 1)}2
=d4k² (k4 + k² + 1) = বামপক্ষ
.. (a² + b² + c²)(b² + c² + d²) = (ab+bc+cd)²
গ) দেওয়া আছে, x = 10pq/p+q
বা, x/5p = 2q/p+q
বা, (x + 5p)/(x – 5p) = (2q+p+q)/( 2q-p-q) [যোজন বিয়োজন করে]
বা, (x + 5p)/(x – 5p) = (p+3q)/(q – p) ……..(1)
আবার, x = 10pq/( p+q)
বা, x/5q = 2p/p+q
বা, (x + 5q)/(x – 5q) = (2p+p+q)/( 2p-p-q) [যোজন বিয়োজন করে]
বা, (x + 5q)/(x – 5q) = (3p+q)/(p – q) ………… (2)
এখন (1) ও (2) নং যোগ করে পাই,
(x + 5p)/(x – 5p) + (x + 5q)/(x – 5q) = (p+3q)/(q – p) + (3p+q)/(p – q) = (p+3q)/(q – p) – (3p+q)/(q – p)
= (p+3q-3p-q)/(q – p) = (2q-2p)/(q – p) = 2(q – p)/(q – p) = 2 [ (q – p) ≠ 0]
আরও দেখুনঃ