অন্তরীকরণ গাণিতিক উদাহরণ ক্লাসটি পলিটেকনিক এর ম্যাথম্যাটিকস – ২ (৬৫৯২১) এর ৭ম অধ্যায়ের পাঠ।
অন্তরীকরণ গাণিতিক উদাহরণ
অন্তরকলন বা অবকলন বা ব্যবকলন বা অন্তরীকরণ গণিতশাস্ত্রের এমন একটি শাখা যাতে কোনো রাশির অন্য কোনো রাশির সাপেক্ষে পরিবর্তনের হার নিয়ে আলোচনা করা হয়। অর্থাৎ ক্রমবর্ধমান বা ক্রমহ্রাসমান দুটি রাশি, যাদের মধ্যে ফাংশনাল সম্পর্ক রয়েছে, তাদের একের সাপেক্ষে অপরের পরিবর্তনের হার নিরূপণ এবং এর তাৎপর্য নির্ণয় অন্তরকলনের মূল উদ্দেশ্য।
একটি বাস্তব চলকের বাস্তব ফাংশনের জন্য, কোনো বিন্দুতে ঐ ফাংশনের অন্তরকলন, লেখচিত্রটির স্পর্শকের ঢাল বা নতির সমান।
অন্যভাবে বলা যায়, একটি ফাংশনের অন্তরজ বা অন্তরক সহগ বা ডেরিভেটিভ নির্ণয়ের পদ্ধতিকে অন্তরকলন বলা হয়।
অনেক আগে থেকেই অন্তরকলনের কিছু বিষয় সম্পর্কে ভারতীয় গণিতবিদদের ধারণা ছিল। ভাস্করাচার্য, কেরলের মাধবাচার্য প্রমুখ রোলির উপপাদ্য, পাই এর মান, সাইনেরঅসীম শ্রেণি প্রভৃতি আবিষ্কার করেন। তবে তাঁরা কখনও একে পরিমাপের একটি স্বতন্ত্র পদ্ধতি হিসেবে প্রতিষ্ঠিত করতে পারেননি। কারণ তাঁরা অভ্যাসবশতই কিছু পদ্ধতি প্রয়োগ করতেন যেগুলো ছিল গণিতের সাধারণ পদ্ধতির বিশেষ প্রয়োগ।
পরবর্তীকালে দুইটি রাশির একটির সূক্ষ্মাতিসূক্ষ্ম পরিবর্তনের জন্য অন্যটির পরিবর্তন অর্থাৎ একটির সাপেক্ষে অন্যটির পরিবর্তনের হার নিয়ে অনেকেই বিশদ চিন্তাভাবনা করেন। এভাবেই একসময় বক্ররেখা বেষ্টিত কোনো ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, ঘনবস্তুর আয়তন প্রভৃতি নির্ণয়ের জন্য সমাকলন পদ্ধতির প্রয়োগ শুরু হয়।
আর এই প্রায়োগিক আবিষ্কারের অংশীদার যৌথভাবে ইংরেজ বিজ্ঞানী স্যার আইজাক নিউটন এবং জার্মান বিজ্ঞানী গটফ্রিড লাইবনিৎস। সপ্তদশ শতাব্দীর শেষ ভাগে এই আবিষ্কারের ঘটনা ঘটে এবং নিউটন এবং লাইবনিৎস পরস্পর স্বাধীনভাবে এটি আবিষ্কার করেন। এজন্য দীর্ঘদিন পর্যন্ত নিউটন ও লাইবনিৎস সমর্থকদের মধ্যে এ আবিষ্কার নিয়ে দ্বন্দ্ব ছিল।
যদি, y = f(x), a বিন্দুতে অন্তরীকরণযোগ্য হয়, তবে f কে অবশ্যই a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, a একটি বিন্দু নিই এবং ধরি f হল একটি ধাপে বিচ্ছিন্ন ফাংশন যা একটি মান প্রদান করবে। x এর মান a এর চেয়ে ছোটো হলে ১ প্রদান করে এবং x এর মান a এর চেয়ে বড়ো বা সমান হলে একটি ভিন্ন মান ১০ প্রদান করে। তাই, a তে f এর কোনো অন্তরজ থাকতে পারে না।
যদি h ঋনাত্মক হয় তবে a+h হয় ধাপের নিম্ন অংশ তাই a থেকে a+h বিন্দুগামী ছেদক রেখা খুব খাড়া হবে অর্থাৎ, h শূন্যের কাছে পৌঁছালে ঢাল অসীমের কাছে পৌঁছায়। আবার যদি, h ধনাত্মক হয় তবে a+h হবে ধাপের উঁচু অংশ। তাই a ও a+h এর ছেদবিন্দুগামী রেখার ঢাল শূন্য। ফলে, ছেদক রেখার ঢাল কোনো একক ঢালের নিকটবর্তী হয় না। তাই পার্থক্য ভাগফলের সীমার কোন অস্তিত্ব নেই।
অন্তরীকরণ গাণিতিক উদাহরণ ঃ