অসীম গুণোত্তর ধারার সমষ্টি

আজকে আমরা  অসীম গুণোত্তর ধারার সমষ্টি সম্পর্কে  আলোচনা করবো । যা উচ্চতর গণিতের অসীম ধারা অংশের অন্তর্গত।

 

 

অসীম গুণোত্তর ধারার সমষ্টি

a+ar+ar2 + ar3 + … গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r।

সুতরাং, ধারাটির n তম পদ = arn−1, যেখানে nEN

এবার, r ≠ 1 হলে ধারাটির n তম আংশিক সমষ্টি

Sn = a + ar+ar² + ar³ +…+arn-1

Sn = a. (arn-1)/( r-1) যখন r > 1 এবং Sn = a. (arn-1)/( r-1) যখন r < 1

 

 

লক্ষ করি:

ক) |r| < 1 হলে, অর্থাৎ, − 1 < r < 1 হলে, n এর মান বৃদ্ধি করলে (n  = ∞ হলে) | rn | এর মান হ্রাস পায় এবং n এর মান যথেষ্ট বড় করলে |rn | এর মান 0 এর কাছাকাছি হয়। অর্থাৎ |rn| এর প্রান্তীয় মান (Limiting Value) 0 হয়।

ফলে Sn এর প্রান্তীয় মান Sn = a (1 – rn)/(1-r) এ

ক্ষেত্রে, অসীম ধারাটির সমষ্টি S∞ = a/(1- r)

খ) |r| > 1 হলে, অর্থাৎ r > 1 অথবা r < -1 হলে, n এর মান বৃদ্ধি করলে |rn| এর মান বৃদ্ধি পায় এবং n কে যথেষ্ট বড় করে |rn| এর মান যথেষ্ট বড় করা যায়। সুতরাং এমন কোন নির্দিষ্ট সংখ্যা S পাওয়া যায় না, যাকে Sn এর প্রান্তীয় মান ধরা যায়।

অর্থাৎ, এক্ষেত্রে অসীম ধারাটির কোনো সমষ্টি নাই।

গ) r = -1 হলে, অর্থাৎ Sn এর প্রান্তীয় মান পাওয়া যায় না। কেননা n জোড় সংখ্যা হলে (-1)n = 1 এবং  n বিজোড় সংখ্যা হলে (-1)n = -1 । এক্ষেত্রে ধারাটি হবে a-a+a-a+a-a+…।

সুতরাং, এই অসীম ধারাটির কোন সমষ্টি নাই ।

ঘ) r = 1 হলেও Sn এর প্রান্তীয় মান পাওয়া যায় না। কেননা তখন ধারাটি হবে a+a+a+a+… (n সংখ্যক)। অর্থাৎ Sn = na যা n এর মান বাড়িয়ে যথেষ্ট বড় করা যায়।

 

 

সুতরাং, এই অসীম ধারাটির কোন সমষ্টি নাই ।

|r| < 1 অর্থাৎ, −1 < r < 1 হলে, a + ar + ar2 + … অসীম গুণোত্তর ধারাটির সমষ্টি S = a/(1-r)। r এর অন্য সকল মানের জন্য অসীম ধারাটির সমষ্টি থাকবে না।

মন্তব্য:

অসীম গুণোত্তর ধারার সমষ্টিকে (যদি থাকে) S∞ লিখে প্রকাশ করা হয় এবং একে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি বলা হয়। অর্থাৎ, a + ar + ar2 + ar3 + … গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি,

S∞ = a/(1-r), যখন |r| < 1

 

 

উদাহরণ ২.

নিচের অসীম গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি (যদি থাকে) নির্ণয় কর।

ক) 1/3 + 1/32 + 1/33 + 1/34 + ….

খ) 1+0.1+0.01 +0.001 + …

গ) 1+ 1/√2+ 1/2+ 1/2√2+ 1/4

সমাধান:

ক) এখানে, ধারাটির প্রথম পদ, a = 1/3 এবং সাধারণ অনুপাত, r = 1/32 X 3/1< 1

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, S∞ = a/(1-r) = 1/3/(1-1/3) = 1/3 X 3/2 = 1/2

খ) এখানে, ধারাটির প্রথম পদ a = 1 এবং সাধারণ অনুপাত r = 0.1/1 = 1/10 < 1

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, S∞ = a /(1-r) = 1 /(1-1/10) = 10/9

গ) এখানে, ধারাটির প্রথম পদ a = 1 এবং সাধারণ অনুপাত r = = (1/√2)/1 = 1/√2< 1

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি,S∞  = a /(1 -r) = 1/(1-1/ √2) =  √2/(√2-1) = 3.414 (আসন্ন )

আরও দেখুনঃ

• দুই চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ জোট