অসীম ধারা

যেই ধারার পদসংখ্যা অসীম, সেই ধারাকে অসীম ধারা (Infinite Series) বলে। সসীম ধারায় পদসংখ্যার সীমা (Limit) থাকে, কিন্তু অসীম ধারায় পদের সংখ্যা সীমিত নয়। এটি যত বৃদ্ধি করা হয় ততই বৃদ্ধি পায়। মূলত, অ-সীম ধারার শুরু আছে, কিন্তু শেষ নেই।

অনুক্রম

নিচে দেখানো সম্পর্কটিতে প্রত্যেক স্বাভাবিক সংখ্যা n এর সঙ্গে n এর বর্গ n সম্পর্কিত। অর্থাৎ স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N = {1, 2, 3, 4, } থেকে একটি নিয়মের মাধ্যমে তার বর্গ সংখ্যার সেট {1, 4, 9, 16, … } পাওয়া যায়। এই সাজানো বর্গসংখ্যার সেটটি একটি অনুক্রম। যখন কতকগুলো রাশি একটা বিশেষ নিয়মে ক্রমান্বয়ে এমনভাবে সাজানো হয় যে প্রত্যেক রাশি তার পূর্বের ও পরের রাশির সাথে কীভাবে সম্পর্কিত তা জানা যায়, তখন এভাবে সাজানো রাশিগুলোর সেটকে অনুক্রম (Sequence ) বলা হয়।

উপরের সম্পর্কটিকে ফাংশন বলা হয় এবং f(n) = n2 লেখা হয়। এই অনুক্রমের সাধারণ পদ = n2। যেকোনো অনুক্রমের পদসংখ্যা অসীম। অনুক্রমটি সাধারণ পদের সাহায্যে লেখার পদ্ধতি হলো {n2},n = 1,2,3,4, … বা, {n2}+∞ বা কেবলই, {n2}। কোনো অনুক্রমের প্রথম রাশিকে প্রথম পদ, দ্বিতীয় রাশিকে দ্বিতীয় পদ, তৃতীয় রাশিকে তৃতীয় পদ, ইত্যাদি বলা হয়। উপরে বর্ণিত 1, 4, 9, 16, … অনুক্রমের প্রথম পদ = 1, দ্বিতীয় পদ 4, ইত্যাদি। নিচে অনুক্রমের আরো চারটি = উদাহরণ দেওয়া হলো:

ক) 1/2, 1/22, 1/23, 1/24, ………., 1/2n, ……..

খ) 3,1,-1,-3, …….,(5-2n), ….

গ) 1, 2/3, 3/5, 4/7, ………. n/(2n – 1), ……….

ঘ) 1/2, 1/5, 1/10, 1/17, ………..,1/(n² + 1 ),…….

ধারা

কোনো অনুক্রমের পদগুলো পরপর যোগ চিহ্ন দ্বারা যুক্ত করলে একটি ধারা (series) পাওয়া যায়। যেমন, 1 + 4 + 9 + 16 + … একটি ধারা। আবার 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … আরেকটি ধারা। এই পরের ধারাটির পরপর দুইটি পদের অনুপাত সমান। এ রকম ধারাকে বলা হয় গুণোত্তর ধারা । যেকোনো ধারার পরপর দুইটি পদের মধ্যে সম্পর্কের উপর নির্ভর করে ওই ধারাটির বৈশিষ্ট্য। যেমন সমান্তর ধারার ক্ষেত্রে পরপর দুইটি পদের অন্তর বা বিয়োগফল সমান হয় ।

কোন ধারার পদের সংখ্যার উপর নির্ভর করে ধারাকে নিম্নোক্ত দুইভাবে ভাগ করা যায়। ক) সসীম বা সান্ত ধারা (Finite series) খ) অসীম বা অনন্ত ধারা (Infinite series) । সসীম ধারা সম্পর্কে নবম-দশম শ্রেণির গণিতে আলোচনা করা হয়েছে। এখানে অ-সীম ধারা সম্পর্কে আলোচনা করা হবে ।