অসীম ধারার আংশিক সমষ্টি

আজকে আমরা  অসীম ধারার আংশিক সমষ্টি সম্পর্কে  আলোচনা করবো । যা উচ্চতর গণিতের অসীম ধারা অংশের অন্তর্গত।

যেই ধারার পদসংখ্যা অসীম, সেই ধারাকে অসীম ধারা (Infinite Series) বলে। সসীম ধারায় পদসংখ্যার সীমা (Limit) থাকে, কিন্তু অসীম ধারায় পদের সংখ্যা সীমিত নয়। এটি যত বৃদ্ধি করা হয় ততই বৃদ্ধি পায়। মূলত, অসীম ধারার শুরু আছে, কিন্তু শেষ নেই।

 

 

 

অসীম ধারার আংশিক সমষ্টি (Partial Sum of Infinite Series)

U1, U2, U3, ,……Un, … … অনন্ত ধারার

১ম আংশিক সমষ্টি S1 = U1

২য় আংশিক সমষ্টি S2 = u1 + u2

৩য় আংশিক সমষ্টি S3 = u1 + u2 + u3

n তম আংশিক সমষ্টি Sn =u1 + u2 + u3 + ……….. + un

অর্থাৎ, কোনো অসীম ধারার n তম আংশিক সমষ্টি হচ্ছে ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি।

 

 

উদাহরণ ১.

প্রদত্ত অসীম ধারা দুইটির আংশিক সমষ্টি নির্ণয় কর।

ক) 1+2+3+4+…
খ) 1-1+1-1+…

সমাধান:

ক) ধারাটি একটি সমান্তর ধারা কারণ ধারাটির প্রথম পদ a = 1 এবং সাধারণ অন্তর d = 1।

সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি Sn =n/2{2a + (n – 1) d}

= n/2{2.1+ (n-1).1}

কাজেই Sn = n/2 {2 + n – 1}

= n(n+1)/2

 

 

উপরের সূত্রে n এর বিভিন্ন মান বসিয়ে পাই,

S10 =  (10 x 11 )/2 = 55

S1000 = (1000 x 1001)/ 2 = 500500

S1000000 = (100000 x 100001)/ 2 = 5000050000

এভাবে, n এর মান যত বড় করা হয়, Sn এর মান তত বড় হয়।

সুতরাং প্রদত্ত অসীম ধারাটির কোনো সমষ্টি নাই।

খ) 1-1+1-1… অসীম ধারাটির

১ম আংশিক সমষ্টি S1 = 1

২য় আংশিক সমষ্টি S2 = 1-1 = 0

৩য় আংশিক সমষ্টি S3 =1-1+1=1

৪র্থ আংশিক সমষ্টি S4 = 1-1+1-1 = 0

উপরের উদাহরণ থেকে দেখা যায় যে, n বিজোড় সংখ্যা হলে n তম আংশিক সমষ্টি Sn = 1 এবং n জোড় সংখ্যা হলে n তম আংশিক সমষ্টি Sn = 0

তাহলে দেখা যাচ্ছে যে, প্রদত্ত ধারাটির ক্ষেত্রে, এমন কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যা পাওয়া যায় না যাকে ধারাটির সমষ্টি বলা যায়।

 

সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র :