আংশিক ভগ্নাংশ

আজকের আলোচনার বিষয়ঃ আংশিক ভগ্নাংশ । যা উচ্চতর গণিতের বীজগানিতিক রাশি অংশের অন্তর্গত।

 

 

আংশিক ভগ্নাংশ (Partial Fractions )

যদি কোনো ভগ্নাংশকে একাধিক ভগ্নাংশের যোগফল রূপে প্রকাশ করা হয়, তবে শেষোক্ত ভগ্নাংশগুলোর প্রত্যেকটিকে প্রথমোক্ত ভগ্নাংশের আংশিক ভগ্নাংশ বলা হয়।

যেমন, একটি ভগ্নাংশ (3x – 8)/ (x2 – 5x + 6) কে লেখা যায়:

(3x – 8)/ (x2 – 5x + 6)

= 2(x – 3) + (x – 2 )/(x – 3) (x – 2 )

= 2/(x – 2 ) + 1/(x – 3)

এখানে প্রদত্ত ভগ্নাংশটিকে দুইটি ভগ্নাংশের যোগফল রূপে প্রকাশ করা হয়েছে। অর্থাৎ, ভগ্নাংশটিকে দুইটি আংশিক ভগ্নাংশে বিভক্ত করা হয়েছে।

যদি N(x) ও D(x) উভয়ই চলকের বহুপদী এবং লব N(x) এর মাত্রা হর D(x) এর মাত্রা অপেক্ষা ছোট হয়, তাহলে ভগ্নাংশটি প্রকৃত ভগ্নাংশ (proper fraction) বলা হয়। লব N(x) এর মাত্রা হর D(x) এর মাত্রার সমান অথবা বড় হলে ভগ্নাংশটিকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ ( improper fraction) বলা হয়।

যেমন, (x2 + 1)/ ( x + 1 ) ( x + 2) (x – 3) একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ। কিন্তু 2×4/(x+1) ও  (x3 + 3×2 + 2)/( x+2) উভয়ই অপ্রকৃত ভগ্নাংশ। উল্লেখ্য যে, অপ্রকৃত ভগ্নাংশের লবকে হর দ্বারা সাধারণ নিয়মে ভাগ করে x+2 অথবা লবের পদগুলোকে সুবিধাজনকভাবে পুনর্বিন্যাস করে ভগ্নাংশটিকে একটি বহুপদী (ভাগফল) এবং একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের যোগফল রূপে প্রকাশ করা যায়।

যেমন,
(x3 + 3×2 + 2)/( x+2)

= (x2 + x – 2) + 6/(x+2)

বিভিন্ন ধরনের প্রকৃত মূলদ ভগ্নাংশকে কীভাবে আংশিক ভগ্নাংশে পরিণত করা হয়, তা নিচে বর্ণনা করা হলো।

ক) যখন হরে বাস্তব ও একঘাতবিশিষ্ট উৎপাদক থাকে কিন্তু সেগুলোর কোনো পুনরাবৃত্তি হয় না।

খ) যখন লবের ঘাত হরের ঘাত অপেক্ষা বৃহত্তর বা সমান হয়, তখন লবকে হর দ্বারা ভাগ করে লবের ঘাত হর অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর করতে হয়।

গ) যখন হরে বাস্তব ও একঘাতবিশিষ্ট উৎপাদক থাকে এবং সেগুলোর কয়েকটির পুনরাবৃত্তি হয়।

ঘ) যখন হরে বাস্তব ও দ্বিঘাতবিশিষ্ট উৎপাদক থাকে কিন্তু কোনো পুনরাবৃত্তি হয় না।

ঙ) যখন হরে বাস্তব ও দ্বিঘাতবিশিষ্ট উৎপাদক থাকে এবং সেগুলোর কয়েকটির পুনরাবৃত্তি ঘটে।

ক) যখন হরে বাস্তব ও একঘাতবিশিষ্ট উৎপাদক থাকে কিন্তু সেগুলোর কোনো পুনরাবৃত্তি হয় না

 

 

উদাহরণ ২৩.

(5x – 7)/ (x – 1 ) ( x – 2 ) কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

সমাধান:

ধরি, (5x – 7)/ (x – 1 ) ( x – 2 ) ≡ A(x – 1) + B (x- 2) ………… (1)

(1) এর উভয়পক্ষকে (x – 1 ) (x – 2 ) দ্বারা গুণ করে পাই,

5x – 7 ≡ A (x – 2 ) + B (x – 1 ) …………..(2)

যা এর সকল মানের জন্য সত্য ।

এখন (2) এর উভয়পক্ষে x = 1 বসিয়ে পাই, 5 – 7 = A ( 1 – 2 ) + B ( 1 – 1)

বা, – 2 = – A,

A = 2

আবার, (2) এর উভয়পক্ষে x = 2 বসিয়ে পাই, 10 – 7 = A (1 – 2) + B (2 – 1 )

বা, 3 = B

B = 3

এখন A এবং B এর মান (1) এ বসিয়ে পাই,

(5x – 7)/ (x – 1 ) ( x – 2 ) ≡ 2(x – 1) + 3 (x- 2) প্রদত্ত ভগ্নাংশটি আংশিক ভগ্নাংশে বিভক্ত হলো।

মন্তব্য:

প্রদত্ত ভগ্নাংশটির আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ যে যথাযথ হয়েছে তা পরীক্ষা করা যায়।

ডানপক্ষ = 2(x – 1 ) + 3(x – 2 ) = 2 (x – 2 ) + 3 (x – 1 )/ (x – 1 ) (x – 2 ) =  5x-7 /(x – 1 ) (x – 2 )  = বামপক্ষ

উদাহরণ ২৪.

(x+5)/ (x – 1 ) (x – 2 ) (x – 3) কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

সমাধান:

ধরি, x + 5 (x – 1 ) (x – 2 ) (x – 3) ≡ A(x – 1 ) +  B(x – 2 ) + C(x – 3) ………(1)

(1) এর উভয়পক্ষকে (x – 1 ) (x – 2 ) (x – 3) দ্বারা গুণ করে পাই,

x + 5 ≡ A(x – 2) (x – 3) + B (x – 1 ) (x – 3) + C (x – 1 ) (x – 2 ) …… (2)

(2) এর উভয়পক্ষ x এর সকল মানের জন্য সত্য।

(2) এর উভয়পক্ষে x = 1 বসিয়ে পাই,

1 + 5 = A(-1)(-2)

= 6 = 2A

= A = 3

আবার (2) এর উভয়পক্ষে x = 2 বসিয়ে পাই,

2 + 5 = B(1)(−1) ⇒ 7 = -B,

B = -7।

এবং (2) এর উভয়পক্ষে x = 3 বসিয়ে পাই,

3 + 5 = C (2) ( 1 ) বা 8 = 2C বা C = 4

এখন, A, B এবং C এর মান (1) এ বসিয়ে পাই,

(x + 5)/ (x – 1) (x – 2 ) (x – 3) ≡  3(x – 1) – 7(x – 2 ) + 4(x – 3)

খ) যখন লবের ঘাত হরের ঘাত অপেক্ষা বৃহত্তর বা সমান হয়, তখন লবকে হর দ্বারা ভাগ করে লবের ঘাত অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর করতে হয়

 

 

উদাহরণ ২৫.

(x – 1 ) (x – 5) ( x – 2 ) (x – 4 ) -কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

সমাধান:

এখানে লবকে হর দ্বারা ভাগ করলে 1 হয়।

সুতরাং ধরি, (x – 1 ) ( x – 5 )/ (x – 2 ) (x – 4 ) =1+ A (x – 2 ) + B (x – 4 ) ……………(1)

(1) এর উভয়পক্ষকে (x – 2 ) (x – 4 ) দ্বারা গুণ করে পাই,

(x – 1 ) (x – 5 ) = (x – 2 ) (x – 4 ) + A (x – 4 ) + B (x – 2 ) ………….(2)

(2) এর উভয়পক্ষে পর্যায়ক্রমে x = 2, 4 বসিয়ে পাই,

(2 – 1 ) ( 2 – 5 ) = A ( 2 – 4 ) বা, A = 3/2

এবং (4 – 1) (4 – 5) = B( 4 – 2 )

বা, B  = -3/2

এখন A এবং B এর মান (1) এ বসিয়ে পাই,

(x – 1 ) (x – 5) /(x – 2 ) (x – 4 ) = 1+ 3/ =1+ 3/2 (x – 2 ) – 3/2 (x – 4 )  ,যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।

উদাহরণ ২৬.

2×3 /(x – 1 ) (x – 2 ) (x – 3) কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

সমাধান:

এখানে লবকে হর দ্বারা ভাগ করলে 2 হয়।

সুতরাং ধরি, 2×3/ (x – 1 ) (x – 2 ) (x – 3) =2+ A(x – 1 ) + B(x – 2 ) + C(x – 3) ……………….. (1)

(1) এর উভয়পক্ষকে (x – 1 ) (x – 2 ) ( x – 3 ) দ্বারা গুণ করে পাই,

2×3 = 2(x – 1) (x – 2 ) (x – 3) + A (x – 2 ) (x – 3) + B (x – 1) (x – 3) – +C(x – 1) (x – 2) …… (2)

(2) এর উভয়পক্ষে পর্যায়ক্রমে x = 1, 2, 3 বসিয়ে পাই,

2 = A(−1) (−2) বা, A = 1;

16 = B ( 1 ) ( -1 )

বা, B = 16 এবং 54 = C(2) (1) বা, C = = 54/ 2 = 27

এখন A, B, C এর মান (1) এ বসিয়ে পাই, 2×3 (x – 1 ) (x – 2 ) (x – 3) = 2+ 1 16 x-1 – 2 X – 27 + 3 যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ ।

গ) যখন হরে বাস্তব ও একঘাতবিশিষ্ট উৎপাদক থাকে এবং সেগুলোর কয়েকটির পুনরাবৃত্তি হয়

 

 

উদাহরণ ২৭.

x/(x – 1)2 (x – 2 )কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

সমাধান:

ধরি, x/(x – 1)2 (x – 2 ) = A/(x – 1) +B(x – 1)2 +C(x – 2 )

(1) এর উভয়পক্ষকে (x – 1)2 (x – 2 ) দ্বারা গুণ করে পাই,

x = A(x – 1) (x – 2 ) + B (x – 2 ) + C (x – 1 ) 2 …… ( 1 )

(2) এর উভয়পক্ষকে পর্যায়ক্রমে x = 1, 2 বসিয়ে পাই,

1 = B ( 1 – 2 ) বা, B –1 এবং 2 = C(2 – 1 ) 2

বা, 2 = C

⇒ C = 2

আবার, (2) এ x2 এর সহগ সমীকৃত করে পাই,

0 = A + C বা, A = -C = −2

এখন A, B এবং C এর মান (1) এ বসিয়ে পাই,

x/(x – 1)2 (x – 2 ) = (-2)/(x – 1) +(-1)(x – 1)2 +2(x – 2 )

যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।

ঘ) যখন হরে বাস্তব ও দ্বিঘাতবিশিষ্ট উৎপাদক থাকে কিন্তু কোনো পুনরাবৃত্তি হয় না

উদাহরণ ২৮.

(x – 1 ) ( x 2 + 4 ) কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

সমাধান:

ধরি,

x/(x – 1 ) ( x 2 + 4 ) = A/(x – 1 ) + (Bx + C)/( x 2 + 4 ) ………….. (1)

উভয়পক্ষকে (x – 1) (x2 + 4) দ্বারা গুণ করে পাই, x = A(x2 + 4) + (Bx + C) (x – 1 ) …………(2)

(2) এ x = 1 বসিয়ে পাই, 1 = A (5) ⇒

A = 1/5

x2 ও x এর সহগ সমীকৃত করে পাই,

A + B = 0… (3) এবং C – B = 1… ( 4 )

(3) নং এ A = 1/5 বসিয়ে পাই, B = -1 /5

(4) নং এ B = -1 /5 বসিয়ে পাই, C = 5

এখন, A, B ও C এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,

x/(x – 1 ) ( x 2 + 4 ) = (1/5)/(x – 1 ) + (-x/5)+(4/5)/( x 2 + 4 )

1/5 (x – 1 ) – (x – 1 ) /5 ( x 2 + 4)

যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।

ঙ) যখন হরে বাস্তব ও দ্বিঘাতবিশিষ্ট উৎপাদক থাকে এবং সেগুলোর কয়েকটির পুনরাবৃত্তি ঘটে

 

 

উদাহরণ ২৯.

1/x(x² + 1)² কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

সমাধান:

ধরি, 1/x(x² + 1)² = A/x + (Bx+C)/(x² + 1)² + (Dx + E)/(x² + 1)² …………(1)

(1) এর উভয়পক্ষে x(x2 + 1)2 দ্বারা গুণ করে পাই,

1 = A(x² + 1)² + (Bx + C) (x² + 1)x + (Dx + E)x

= A(x4 + 2x² + 1) + (Bx + C)(x³ + x) + Dx² + Ex

বা, 1= Ax4+2Ax² + A+ Bx4 + Bx² + Cx³ + Cx+ Dx² + Ex··· (2)

(2) নং এর উভয় পক্ষে x4, x3, x2, x এর সহগ এবং ধ্রুবক পদ সমীকৃত করে পাই,

A+B=0, C=0, 2A+B+D=0, C+E=0, A = 11

C+E=0 তে C=0 বসিয়ে পাই,E=01

A+B=0 তে A=1 বসিয়ে পাই, B=-11

2A+B+D=0 তে A = 1 এবং B = -1 বসিয়ে পাই, D=-11

A = 1, B = -1, C=0, D= -1 E = 01

(1) নং এ A, B, C, D ও E এর মান বসিয়ে পাই,

1 /x(x² + 1)² = 1/x – x/x²+1  – x(x²+1)2 , যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।