উৎপাদক উপপাদ্যের বিপরীত উপপাদ্য

আজকে আমরা আলোচনা করবো উৎপাদক উপপাদ্যের বিপরীত উপপাদ্য । যা উচ্চতর গণিতের বীজগানিতিক রাশি অংশের অন্তর্গত।

 

 

উৎপাদক উপপাদ্যের বিপরীত উপপাদ্য

প্রতিজ্ঞা ৪.

x – a যদি P(x) বহুপদীর একটি উৎপাদক হয়, তবে P(a) = 0 হবে।

প্রমাণ:

যেহেতু x – a, P(x) বহুপদীর একটি উৎপাদক, সুতরাং আরেকটি বহুপদী Q(x) পাওয়া যায়
যেন P(x) = (x – a) Q(x )

এখানে x = a বসিয়ে দেখা যায় যে, P(a) = (a – a) Q (a) = 0.Q (a) = 0

উদাহরণ ১০.

দেখাও যে, P(x) = ax3 + ba2 + cx + d বহুপদীর x – 1 একটি উৎপাদক হবে যদি ও কেবল যদি a + b + c + d = 0 হয়।

সমাধান:

মনে করি, a + b + c + d = 0

তাহলে, P(1) = a + b + c + d = 0 [শর্তানুসারে]।

সুতরাং, x – 1, P(x) এর একটি উৎপাদক [উৎপাদক উপপাদ্যের সাহায্যে]।

এবার মনে করি P(x) এর একটি উৎপাদক x – 1

তবে, উৎপাদকের বিপরীত উপপাদ্যের সাহায্যে পাই,

P(1) = 0 অর্থাৎ a +b+c+d=0

মন্তব্য:

x- 1 ধনাত্মক মাত্রার যেকোনো বহুপদীর একটি উৎপাদক হবে যদি ও কেবল যদি বহুপদীটির সহগসমূহের সমষ্টি 0 হয়।

 

 

উদাহরণ ১১.

মনে করি, P(x) = ax3+bx2+cx+d বহুপদীর সহগগুলো পূর্ণসংখ্যা, a ≠ 0, d ≠ 0 এবং x – r বহুপদীটির একটি উৎপাদক। দেখাও যে,
ক) যদি r পূর্ণসংখ্যা হয়, তবে r, d এর উৎপাদক হবে।
খ) যদি r = p/q লঘিষ্ট আকারে প্রকাশিত মূলদ সংখ্যা হয়, তবে p, d এর উৎপাদক ও q, a এর উৎপাদক হবে।

সমাধান :

ক) উৎপাদক উপপাদ্যের বিপরীত উপপাদ্য থেকে দেখা যায় যে,
P(r) = ar3 + b2 + cr + d = 0

বা, (ar2 + br + c)r = – d

যেহেতু (ar2 + br + c), r ও d প্রত্যেকেই পূর্ণসংখ্যা, সুতরাং, r, d এর একটি উৎপাদক।

খ) উৎপাদক উপপাদ্যের বিপরীত উপপাদ্য থেকে দেখা যায় যে,

P(r) = ar3 + b2 + cr + d = 0

বা, P (p/q) = α (p/q)3 + b(p/q)2 + c(p/q) + d = 0
বা, ap3 + bp2q + cpq2 + dq3 = 0……(1)

(1) থেকে পাওয়া যায় (ap2 + bpq + cq2) p = -dq3 (2)

এবং (bp2 + cpq + dq2) q = – apq ……. (3)

এখন, ap2 + bpq + cq, bp2 + cpq + dq2, p, g, d, a প্রত্যেকেই পূর্ণসংখ্যা।

সুতরাং (2) থেকে পাওয়া যায়, p, dq এর একটি উৎপাদক এবং ( 3 ) থেকে পাওয়া যায়, q, ap” এর একটি উৎপাদক। কিন্তু p ও g এর °1 ছাড়া কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই। সুতরাং p, d এর একটি উৎপাদক এবং q, a এর একটি উৎপাদক।

দ্রষ্টব্য:

উপরের উদাহরণ থেকে আমরা লক্ষ করি যে, উৎপাদক উপপাদ্যের সাহায্যে পূর্ণসাংখ্যিক সহগবিশিষ্ট বহুপদী P(x) এর উৎপাদক নির্ণয়ের জন্য প্রথমে P(r) এবং পরে P(7) পরীক্ষা করা যেতে পারে, যেখানে, r বহুপদীটির ধ্রুব পদের উৎপাদক (r ± °1 সহ) এবং s বহুপদীটির মুখ্য সহগের উৎপাদক (s = ± সহ)।

 

 

উদাহরণ ১২.

P(x) = x3 – 6×2 + 11x – 6 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান:

প্রদত্ত বহুপদীর সহগসমূহ পূর্ণসংখ্যা এবং ধ্রুব পদ = −6, মুখ্য সহগ = 1

এখন r যদি পূর্ণসংখ্যা হয় এবং P(x) এর যদি – r আকারের কোন উৎপাদক থাকে, তবে r অবশ্যই –6 এর উৎপাদক অর্থাৎ, ±1, ±2, ±3, ±6 এর কোনো একটি হবে। এখন এর এরূপ বিভিন্ন মানের জন্য P(x) পরীক্ষা করি।

P ( 1 ) = 1 – 6 + 11 – 6 = 0, x-1, P(x) এর একটি উৎপাদক।

P(-1) = -1 – 6 -11-6 ≠0, x + 1, P(x) এর উৎপাদক নয়।

P(2) = 8 – 24 + 22- 6 = 0, x – 2, P(x) এর একটি উৎপাদক।

P(-2) = – 8 – 24 – 22 – 6≠0, x + 2, P(x) এর উৎপাদক নয়।

P ( 3 ) = 27 – 54 + 33 – 6≠ 0, x – 3, P(x) এর একটি উৎপাদক।

যেহেতু, P(x) এর মাত্রা 3 এবং তিনটি 1 মাত্রার উৎপাদক পাওয়া গেছে, সুতরাং P(x) এর অন্য কোনো উৎপাদক যদি থাকে তবে তা ধ্রুবক হবে।

.: P(x) = k (x – 1 ) (x – 2 ) (x – 3) যেখানে k; ধ্রুবক।

উভয়পক্ষে এর সর্বোচ্চ ঘাতের সহগ বিবেচনা করে দেখা যায় যে, k = 1।

সুতরাং, P(x) = (x – 1 ) (x – 2 ) (x – 3 ) ।

দ্রষ্টব্য:

কোনো বহুপদী P(x) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করার জন্য প্রথমে (x – r) আকারের একটি উৎপাদক নির্ণয় করে P(x) কে সরাসরি (x – r) দ্বারা ভাগ করে অথবা P(x) এর পদসমূহকে – পুনর্বিন্যাস করে P(x) কে P(x) = (x-r)Q(x) আকারে লেখা যায়। সেখানে Q(x) বহুপদীর মাত্রা P(x) এর মাত্রা থেকে 1 কম। অতঃপর Q(x) এর উৎপাদক নির্ণয় করে অগ্রসর হতে হয়।

 

 

উদাহরণ ১৩.

উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর: 18×3 + 15×2 – x – 21

সমাধান:

মনে করি, P(x) = 18×3 + 15×2 – 2 – 21

P(x) এর ধ্রুব পদ –2 এর উৎপাদকসমূহের সেট F1 = {1, −1, 2, −2}।

P(x) এর মুখ্য সহগ 18 এর উৎপাদকসমূহের সেট

F₂ = {1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6, 9, -9, 18, -18} |

এখন P(a) বিবেচনা করি, যেখানে, a = r/s এবং r∊ Fi, s∊ F2

a = 1 হলে, P(1) = 18 + 15-1-2≠0

a = −1 হলে, P(−1) = 18 + 15 + 1 – 2≠0

a = -1/2 হলে, P (-1/2) = 18 (1/2) + 15 (1/2) + 1/2 – 2 = 0

সুতরাং x + – ( 2x + 1 ) অর্থাৎ (2x + 1), P(x) এর একটি উৎপাদক।

এখন, 18x^3 + 15×2 – x – 2 = 18×3 + 9×2 + 6×2 + 3x – 4x – 2

=9×2 (2x + 1 ) + 3x (2x + 1 ) – 2 ( 2x + 1) = ( 2x + 1 ) (9x 2 + 3x – 2)।

এবং 9×2+3x-2 = 9×2 + 6x – 3x – 2 = 3x (3x + 2) – 1 ( 3x + 2) = ( 3x + 2) (3x – 1)

P(x) = ( 2x + 1 ) ( 3x + 2 ) ( 3x – 1 ) ।

 

 

উদাহরণ ১৪.

– 3×2 – 2xy + y2 + 11x – 8y – 6 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান:

কেবল x সম্বলিত পদগুলো ও ধ্রুবক নিয়ে পাওয়া যায় – 3×2 + 11x – 6।

–3×2 + 11x – 6 = (-3x + 2) (x – 3) অথবা ( 3x – 2 ) ( x + 3) ……(1)

আবার কেবল y সম্বলিত পদগুলো ও ধ্রুবক নিয়ে পাওয়া যায় 8y2 – 8y – 61

8y2 – 8y – 6 = ( 4y + 2) (2y – 3 ) অথবা ( – 4y – 2 ) ( – 2y + 3) ……. (2)

উপরের (1) ও (2) এর উৎপাদকগুলোকে সমন্বয় করে প্রদত্ত রাশির উৎপাদক পাওয়া যাবে, তবে ধ্রুবকগুলো + 2 – 3 অথবা – 2, +3 উভয় সমীকরণে অবশ্যই একই হতে হবে ঠিক যেমনটি x এবং y এর সহগ ।

.:নির্ণেয় উৎপাদক (− 3x + 4y + 2 ) ( x + 2y – 3 ) অথবা ( 3x – 4y – 2 ) ( x – 2y + 3)।

নির্ণীত উৎপাদক যে সঠিক সেটা যাচাই করার জন্য আমরা xy এর সহগ – 32+4.1 = -2 অথবা 3. ( 2 ) – 4 ( 1 ) = – 2 মিলিয়ে দেখতে পারি।

আরও দেখুনঃ

• ফাংশনের অন্বয়