আজকে আমাদের আলোচনার বিষয়ঃ উৎপাদকে বিশ্লেষণ। এটি নবম – দশম শ্রেনী গণিতের বীজগাণিতিক রাশি এর অন্তর্গত।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ
কোনো রাশি দুই বা ততোধিক রাশির গুণফলের সমান হলে, শেষোক্ত রাশিগুলোর প্রত্যেকটিকে প্রথমোক্ত রাশির উৎপাদক বা গুণনীয়ক বলা হয়। কোনো বীজগাণিতিক রাশির উৎপাদকগুলো নির্ণয় করার পর রাশিটিকে লব্ধ উৎপাদকগুলোর গুণফলরূপে প্রকাশ করাকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ বলা হয়। বীজগাণিতিক রাশিগুলো এক বা একাধিক পদবিশিষ্ট (বহুপদী) হতে পারে। সেজন্য উক্ত রাশির উৎপাদকগুলোও এক বা একাধিক পদবিশিষ্ট হতে পারে। এখানে উৎপাদক নির্ণয়ের কতিপয় কৌশল আলোচনা করা হবে।
সাধারণ উৎপাদক:
কোনো বহুপদীর প্রত্যেক পদে কোনো সাধারণ উৎপাদক থাকলে তা বের করে নিতে হয়। যেমন:
উদাহরণ ১৮.
3a2b + 6ab + 12a2b2 = 3ab (a + 2b + 4ab )
উদাহরণ ১৯.
2ab(x – y) + 2bc ( x – y) + 3ca (x – y) = (x – y) (2ab+2bc + 3ca)
পূর্ণবর্গ:
একটি রাশিকে পূর্ণবর্গ আকারে প্রকাশ করেও উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়।
উদাহরণ ২০.
4×2 + 12x + 9 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।
সমাধান:
4×2 + 12x + 9 = (2x) 2 + 2 x 2x x 3 + (3) 2
=(2x+3)² = (2x+3)(2x+3)
উদাহরণ ২১.
9×2 – 30xy + 25y2 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।
সমাধান:
9×2 – 30xy + 25y 2
= ( 3x ) 2 – 2 x 3x x 5y + (5y) 2
= (3x-5y)2 = (3x-5y)(3x-5y)
দুইটি বর্গের অন্তর:
একটি রাশিকে দুইটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করে এবং a2 – b2 = (a + – b) (a – b) সূত্র প্রয়োগ করেও উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়।
উদাহরণ ২২.
a2 – 1 + 2b – b2 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।
সমাধান:
a²-1+2b – b2 = a2 – (b2-2b+1)
a² – (b-1)²= {a + (b-1)} {a – (b-1)}
=(a+b-1)(a-b+1)
উদাহরণ ২৩.
a4 + 64b4 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।
সমাধান:
a4 + 64b4 = (a²) 2 + (8b2) 2
= (a²)² + 2x a² × 8b2+ (8b2)² – 16a2b2
= (a²+8b2)2- (4ab)2
= (a² + 8b² + 4ab) (a² + 8b² – 4ab)
= (a²+4ab+8b²) (a² – 4ab8b²)
সরল মধ্যপদ বিভক্তিকরণ:
x2 + (a + b) x + ab = (x + a) (x + b) সূত্রটি ব্যবহার করে উৎপাদক নির্ণয় করা যায়। এ পদ্ধতিতে x2 + px + q আকারের বহুপদীর উৎপাদক নির্ণয় করা সম্ভব হয় যদি দুইটি সংখ্যা a ও b নির্ণয় করা যায় যেন, a + b = p এবং ab = q হয়। এজন্য g এর দুইটি সচিহ্ন উৎপাদক নিতে হয় যাদের বীজগাণিতিক সমষ্টি p হয়। q>0 হলে, a ও b একই চিহ্নযুক্ত হবে এবং q< 0 হলে, a ও b বিপরীত চিহ্নযুক্ত হবে। উল্লেখ্য p এবং q পূর্ণসংখ্যা না ও হতে পারে।
উদাহরণ ২৪.
x2 + 12x + 35 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।
সমাধান:
x2 + 12 + 35 = x2 + (5+7) x + 5x 7 = (x + 5) (x + 7 )
উদাহরণ ২৫.
x2 + x – 20 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।
সমাধান:
x2 + x – 20 = x2 + ( 5 – 4 ) x + ( 5 ) (-4 ) = (x + 5) (x – 4 )
যৌগিক মধ্যপদ বিশ্লেষণ:
ax2 + bx + c আকারের বহুপদীর মধ্যপদ বিভক্তিকরণ পদ্ধতিতে ax2 + bx + c = (rx + p) (sx+q) হবে যদি ax2 +bx+c=rsx2 + (rq + sp) x + pg হয়। অর্থাৎ, a = rs, b = rq + sp এবং c = pq হয়। সুতরাং, ac = rspq = (rq) (sp) এবং b = rq + sp। অতএব, ax2 +bx+c আকারের বহুপদীর উৎপাদক নির্ণয় করতে হলে ac, অর্থাৎ, x2 এর সহগ এবং x বর্জিত পদের গুণফলকে এমন দুইটি উৎপাদকে প্রকাশ করতে হবে, যাদের বীজগাণিতিক সমষ্টি x এর সহগ b এর সমান হয়।
উদাহরণ ২৬
3×2 – x – 14 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।
সমাধান:
3×2 – x – 14 = 3×2 – 7x + 6x – 14
= x (3x – 7 ) + 2( 3x – 7 ) = ( 3x – 7 ) ( x + 2)
ঘন আকার:
একটি রাশিকে পূর্ণঘন আকারে প্রকাশ করেও উৎপাদক নির্ণয় করা যায়।
উদাহরণ ২৭.
8×3 + 36x2y + 54xy + 27y3 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।
সমাধান:
8×3 + 36x2y + 54xy + 27y3
= (2x)³ +3 × (2x)² × 3y+3 × 2x × (3y)² + (3y)³
= (2x + 3y) 3 = (2x + 3y) (2x + 3y) (2x + 3y)
দুইটি ঘন এর যোগফল বা বিয়োগফলের সূত্র দিয়ে :
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) এবং a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2) সূত্র দুইটি ব্যবহার করে উৎপাদক নির্ণয় করা যায়।
উদাহরণ ২৮.
উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর:
ক) 8a3 + 27b3 খ) a6 – 64
সমাধান:
ক) 8a3 + 27b3 = (2a)3 + (36)3
= (2a + 3b ) { (2a) 2 – 2a x 3b + (3b) 2 }
= (2a + 3b ) (4a2 – 6ab + 9b2 )
খ) as – 64 = (a 2) 3 – ( 4 ) 3
= (a2 – 4 ) { (a2 ) 2 + a2 x 4 + (4) 2 }
= (a² – 4) (a4+4a² + 16)
কিন্তু, a²-4 = a2-22 = (a+2)(a-2)
এবং a+4a²+16= (a2)²+(4)² + 4a²
= (a² + 4)² – 2(a²)(4) + 4a²
= (a²+4)² – 4a²
= (a²+4)² – (2a)²
= (a²+4+2a) (a² + 4 – 2a)
= (a² + 2a + 4) (a² − 2a +4)
a6 – 64 = (a + 2)(a− 2) (a² + 2a + 4) (a² − 2a+4)
বিকল্প নিয়ম: a6 – 64 = (a 3 ) 2 – 82 (a3)2 – 82
= (a³ +8) (a³ −8)
= (a³ +23) (a³ – 23)
= (a + 2) (a² − 2a + 4) (a− 2)(a² + 2a + 4)
= (a + 2) (a− 2) (a² + 2a + 4) (a² – 2a + 4)
ভগ্নাংশসহগযুক্ত রাশির উৎপাদক:
ভগ্নাংশসহগযুক্ত রাশির উৎপাদকগুলোকে বিভিন্নভাবে প্রকাশ করা যায়। যেমন,
a³ + (1/27) = a³ + (1/3)³ = (a + 1/3 ) (a² – а/3 + 1/9)
আবার, a³ + (1/27) = 1/27(27a³ + 1) = 1/27 {(3a)³ + (1)³} = 1/27{(3a)³ + (1)³ } = 1/27(3a + 1) (9a² — 3a+1)
দ্বিতীয় সমাধানে চলক-সংবলিত উৎপাদকগুলোর সহগগুলো পূর্ণসংখ্যা কিন্তু সমাধান দুইটি অভিন্ন ।
1/27(3a + 1)(9a² − 3a + 1) = 1/3 (3a + 1) × 1/9(9a² – 3a + 1)
উদাহরণ ২৯.
x3 + 6x2y + 11xy2 + 6y3 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।
সমাধান:
x+6x² + 11xy²+6y³
= {x³ +3 · x²· 2y +3⋅ x · (2y)² + (2y)³} − xy2 – 2y3
= (x+2y)³ – y²(x+2y) = (x+2y){(x+2y)² – y²}
= (x+2y)(x+2y+y)(x + 2y − y)
= (x+2y)(x+3y) (x + y)
= (x + y)(x+2y)(x+3y)