সাধারণত ³√1 বা ঘনমূল 1 এর মান সাইন্টিফিক ক্যালকুলেটরে 1 দেখায়। কিন্তু, কেওকি ভেবে দেখেছেন, আসলেই ঘনমূল 1 এর মান কত???আসলে ঘনমূল 1 এর মান ৩ টি! কি? বিশ্বাস হচ্ছে না? কোন অসুবিধা নেই। প্রমান করেই আমি আপনাদের দেখিয়ে দিব। এই প্রমাণটা আসলে একাদশ শ্রেণির সর্বাধিক পঠিত “আফসার-উজ-জামান” এর “উচ্চ মাধ্যমিক বীজগণিত ও ত্রিকোণমিতি” বইয়েই রয়েছে।
কিন্তু, সমস্যাটা হল, ওই বইয়ে প্রমাণটা যেইভাবে দেওয়া রয়েছে, তাতে প্রায় ৮০ ভাগ শিক্ষার্থীরই প্রমাণটা বুঝতে অনেক কষ্ট হয়! এমনকি, প্রায় ৬৫ ভাগ শিক্ষার্থীই ওই প্রমাণটা জানে না! তারা শুধু মুখস্ত করে যায় (প্রমাণটা পরীক্ষায় আসে না, কিন্তু, কোন কিছুর প্রমান না জানলে, সেই জিনিসটাকে ফিল করা যায় না- যেমনঃ গণিত). তাই, আজকে আমরা দেখবো, “আসলে ঘনমূল 1 এর মান কয়টি এবং কি কি?”
আমরা অজানা যেকোনো কিছুর মানকে X ধরে খুব সহজেই কোন কিছুর মান বের করতে পারি। যেমন ধরুন, কেও আপনাকে বলল 11 এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল 42 হয়। আপনি খুব সহজেই 42 হতে 11 বাদ দিয়ে উত্তরটি বলে দিতে পারবেন। কিংবা, এইভাবেও করতে পারবেনঃ
ধরি, অজানা সংখ্যা X
তাহলে,
11 + X = 42
বা, X = 42 – 11
বা, X = 31 (Ans.)
এইগুলা আসলে ষষ্ঠ শ্রেণির অংক। আমি এমনিতেই একটু বললাম আরকি। এবার তাহলে আসল প্রমান শুরু করা যাক …..
প্রমানঃ
ধরি,
³√1 = x
বা, x = ³√1
বা, x³ = 1 [উভয় পক্ষকে ঘন করে]
বা, x³ – 1 = 0
বা, (x)³ – (1)³ = 0
বা, (x – 1) (x² + x + 1) = 0 [যেহেতু, a³ – b³ = (a – b)(a² + ab +b²)]
হয়, x – 1 = 0 অথবা, x² + x + 1 = 0
বা, x = 1 ; বা, 1.x² + 1.x + 1 = 0
-1±√(1²-4.1.1) -b ± √(b²-4ac)
বা, x = ───────── [ যেহেতু, ax² + bx + c = 0 হলে, x = ───────── ]
2.1 2a
-1±√(1-4)
বা, x = ───────
2
-1±√(-3)
বা, x = ──────
2
-1+√(-3) -1-√(-3)
হয়, x = ────── বা, x = ──────
2 2
-1+√(-3) -1-√(-3)
অতএব, x = 1 বা, ────── বা, ──────
2 2
সুতরাং, ³√1 বা ঘনমূল ১ এর মান তিনটি। কিন্তু, এখানে ঘনমূল ১ এর বাস্তব মান ১ টি এবং অবাস্তব বা জটিল মান ২ টি। তাই, আমাদের ক্যালকুলেটরে শুধুমাত্র বাস্তব মানটি দেখায়। অবাস্তব বা জটিল মান দুটি দেখায় না। যারা জটিল সংখ্যা ভালো পারেন, তাদের কাছে এইটা কোনো ব্যাপারই না।
যাই হোক, আরেকদিন ইনশাআল্লাহ্ জটিল সংখ্যা নিয়ে লিখবো। এবং, এটাও প্রমান করে দিবো যে,
