আজকে আমাদের আলোচনার বিষয়ঃ একঘাত সমীকরণের সমাধান। এটি নবম – দশম শ্রেনী গণিতের এক চলকবিশিষ্ট সমীকরণ এর অন্তর্গত।
একঘাত সমীকরণের সমাধান (Solving Linear Equations)
সমীকরণ সমাধানের ক্ষেত্রে কয়েকটি নিয়ম প্রয়োগ করতে হয়। এই নিয়মগুলো জানা থাকলে সমীকরণের সমাধান নির্ণয় সহজতর হয়। নিয়মগুলো হলো :
১. সমীকরণের উভয়পক্ষে একই সংখ্যা বা রাশি যোগ করলে পক্ষদ্বয় সমান থাকে।
২. সমীকরণের উভয়পক্ষ থেকে একই সংখ্যা বা রাশি বিয়োগ করলে পক্ষদ্বয় সমান থাকে।
৩. সমীকরণের উভয়পক্ষকে একই সংখ্যা বা রাশি দ্বারা গুণ করলে পক্ষদ্বয় সমান থাকে।
৪. সমীকরণের উভয়পক্ষকে অশূন্য একই সংখ্যা বা রাশি দ্বারা ভাগ করলে পক্ষদ্বয় সমান থাকে।
উপরের ধর্মগুলোকে বীজগণিতীয় রাশির মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়:
যদি x = a এবং c ≠ 0 হয় তাহলে,
(i) x + c = a + c
(ii) x – c = a – c
(iii) xc = ac
(iv) x/c = a/c
এছাড়া যদি a, b ও c তিনটি রাশি হয় তবে, a = = b + c হলে, a – b = c হবে এবং a + c = b হলে, a = b – c হবে।
এই নিয়মটি পক্ষান্তর বিধি হিসাবে পরিচিত এবং এই বিধি প্রয়োগ করে বিভিন্ন সমীকরণ সমাধান করা হয়।
কোনো সমীকরণের পদগুলো ভগ্নাংশ আকারে থাকলে, লবগুলোতে চলকের ঘাত 1 এবং হরগুলো ধ্রুবক হলে, সেগুলো একঘাত সমীকরণ।
উদাহরণ ১.
সমাধান কর: 5x/7 – 4/5 = x/5 – 2/7
সমাধান: 5x/7 – 4/5 = x/5 – 2/7
বা, 5x/7 – x/5 = 4/5 – 2/7 [পক্ষান্তর করে]
বা, (25x-7x)/ 35 = (28 – 10)/ 35
বা, 18x /35 = 18 /35
বা, 18x = 18
বা, x = 1
সমাধান x = 1
এখন, আমরা এমন সমীকরণের সমাধান করবো যা দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে থাকে। এ সকল সমীকরণ সরলীকরণের মাধ্যমে সমতুল সমীকরণে রূপান্তর করে ax = b আকারের একঘাত সমীকরণে পরিণত করা হয়। আবার, হরে চলক থাকলেও সরলীকরণ করে একঘাত সমীকরণে রূপান্তর করা হয়।
উদাহরণ ২.
সমাধান কর: ( y − 1 ) ( y + 2 ) = ( y + 4 ) (y – 2 )
সমাধান:
(y – 1) (y + 2) = ( y + 4 ) (y – 2 )
বা, y2 – y + 2y – 2 = y2 + 4y – 2y – 8
বা, y – 2 = 2y – 8
বা, y – 2y = – 8 + 2 [পক্ষান্তর করে]
বা, – y = −6
বা, y = 6
সমাধান y=6
উদাহরণ ৩.
সমাধান কর ও সমাধান সেট লেখ : (6x + 1)/15 – (2x-4)/(7x-1) = (2x – 1)/ 5
সমাধান :
(6x + 1)/15 – (2x-4)/(7x-1) = (2x – 1)/ 5
বা, (6x + 1)/15 – (2x-1)/(7x-1) = (2x – 4)/ 5 [পক্ষান্তর করে]
বা, (6x + 1 – 6x + 3)/15 = (2x – 4) /(7x-1)
বা, 4/15 = (2x – 4) /(7x-1)
বা, 15 ( 2x – 4 ) = 4(7x-1) [আড়গুণন করে ]
বা, 30x – 60 = 28x – 4
বা, 30x – 28x = 60 – 4 [পক্ষান্তর করে]
বা, 2x = 56
সমাধান x = 28
এবং সমাধান সেট S = {28}
উদাহরণ ৪.
সমাধান কর: = 1/(x-3) + 1/(x-4) = 1/(x-2) + 1/(x-5)
সমাধান:
1/(x-3) + 1/(x-4) = 1/(x-2) + 1/(x-5)
বা, (x – 4+x- 3)/ (x-3)(x-4) = (x- 5+x -2)/(x-2)(x-5)
বা, (2x – 7)/(x² – 7x+12) = (2x – 7)/(x² – 7x+10)
দুই পক্ষের ভগ্নাংশ দুইটির মান সমান। আবার, দুই পক্ষের লব সমান, কিন্তু হর অসমান। এক্ষেত্রে লবের মান একমাত্র শূন্য হলেই দুই পক্ষ সমান হবে।
2x-7=0
বা, 2x=7
বা, x = 7/2
সমাধান x = 7/2