আজকে আমাদের আলোচনার বিষয়ঃ এক চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ। এটি নবম – দশম শ্রেনী গণিতের এক চলকবিশিষ্ট সমীকরণ এর অন্তর্গত।
এক চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equations in One Variable)
ax2 + b + c = 0 [যেখানে, a, b, c ধ্রুবক এবং a ≠ 0] আকারের সমীকরণকে এক চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ বলা হয়। দ্বিঘাত সমীকরণের বামপক্ষ একটি দ্বিমাত্রিক বহুপদী। সমীকরণের ডানপক্ষ শূন্য ধরা হয়।
12 বর্গ সে.মি. ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x সে.মি. ও প্রস্থ (x – 1 ) সে.মি.।
আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = x (x – 1 ) বর্গ সে.মি.
প্রশ্নমতে, x(x – 1 ) = 12 বা x2 – x – 12 = 0
সমীকরণটিতে একটি চলক x এবং এর সর্বোচ্চ ঘাত 2। এরূপ সমীকরণ হলো দ্বিঘাত সমীকরণ। যে সমীকরণে চলকের সর্বোচ্চ ঘাত 2, তাকে দ্বিঘাত সমীকরণ বলে।
আমরা অষ্টম শ্রেণিতে x2 + px + q এবং ax2 + b + c আকারের এক চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত রাশির উৎপাদকে বিশ্লেষণ করেছি। এখানে আমরা x2 + pc + q = 0 এবং ax2 + b + c = 0 আকারের = দ্বিঘাত সমীকরণের বামপক্ষকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে চলকের মান নির্ণয়ের মাধ্যমে এরূপ সমীকরণ সমাধান করবো।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ পদ্ধতিতে বাস্তব সংখ্যার একটি গুরুত্বপূর্ণ ধর্ম প্রয়োগ করা হয়। ধর্মটি নিম্নরূপ: যদি দুইটি রাশির গুণফল শূন্য হয়, তবে রাশিদ্বয়ের যেকোনোটি অথবা উভয় রাশি শূন্য হবে। অর্থাৎ, দুইটি রাশি a ও b এর গুণফল ab = 0 হলে, a = 0 বা, b = 0, অথবা a = 0 এবং b = 0 হবে।
উদাহরণ ৮
সমাধান কর: (x + 2) (x – 3) = 0
সমাধান:
(x + 2) (x – 3) = 0
x + 2 = 0 অথবা x – 3 = 0
x + 2 = 0 হলে, x = − 2
আবার, x – 3 = 0 হলে, x = 3
সমাধান x = −2 অথবা x = 3
উদাহরণ ৯.
সমাধান সেট নির্ণয় কর: y2 = √3y
সমাধান:
y2 = √3y
বা, y2 – √3y = 0 [পক্ষান্তর করে ডানপক্ষ শূন্য করা হয়েছে]
বা, y(y – √3) = 0
.:. y = 0 অথবা y – √3 = 0
আবার, y − √3 = 0 হলে, y = √3
সমাধান সেট {0, √3}
উদাহরণ ১০.
সমাধান কর ও সমাধান সেট লেখ: x – 4 = (x – 4)/x
সমাধান:
x – 4 = (x – 4)/x
বা, x(x – 4 ) = x -4 [আড়গুণন করে]
বা, x(x – 4 ) – (x – 4 ) = 0 [পক্ষান্তর করে]
বা, (x – 4 ) (x – 1 ) = 0
x – 4 = 0 অথবা x – 1 = 0
x – 4 = 0 হলে, x = 4
আবার, x – 1 = 0 হলে, x = 1
সমাধান সেট {1, 4}
উদাহরণ ১১
সমাধান কর : ((x+a)/(x-a))2 – 5((x+a)/(x-a)) + 6 =0
সমাধান : ((x+a)/(x-a))2 – 5((x+a)/(x-a)) + 6 =0
ধরি, (x+a)/(x-a) =y ……….(1)
(1) হতে পাই, y2 – 5y + 6 = 0
বা, y2-2y-3y+6=0
বা, y(y-2)-3(y-2)=0
বা, (y-2)(y-3)=0
y-2 = 0, y = 2
অথবা y − 3 = 0 হলে, y = 3
এখন, y = 2 হলে,
(x+a)/(x-a) = 2/1 [ y এর মান বসিয়ে]
বা, x+a=2(x-a) [আড়গুণন করে]
বা, x+a=2x-2a
বা, 2x – x = a + 2a
বা, x = 3а
আবার, y = 3 হলে,
(x+a)/(x-a) = 3/1
বা, x+a=3(x-a) [আড়গুণন করে]
বা, x+a=3x-3a
বা, 3x – x = a + 3a
বা, x = 2a
সমাধান x = 2a অথবা x = 3а
আরও দেখুনঃ
