এপোলনিয়াসের উপপাদ্য || Higher Math

এপোলনিয়াসের উপপাদ্য এসএসসি উচ্চতর গণিত (SSC Higher Math), তথা নবম শ্রেণীর উচ্চতর গণিত (Class 9 Higher Math) এবং দশম শ্রেণীর উচ্চতর গণিত (Class 10 Higher Math) এর, ৩ অধ্যায়ের (Three Chapter) ক্লাস |

 

এপোলনিয়াসের উপপাদ্য

 

প্রমাণ-এ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য

ত্রিভূজের যেকোনো দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি তৃতীয় বাহুর অর্ধেকের উপর বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল এবং ঐ বাহুর সমদ্বিখন্ডক মধ্যমার উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির দ্বিগুণ।

 

 

বিষয়বস্তু: জ্যামিতি (৯ম-১০ম উচ্চতর গণিত)

এই প্রমাণটি বুঝতে হলে যে পূর্বজ্ঞান থাকা প্রয়োজন:

• স্থূলকোণী ও সূক্ষ্মকোণী ত্রিভূজ
• লম্ব অভিক্ষেপ
• স্থূলকোণী ত্রিভূজের স্থূলকোণের বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র ঐ কোণের সন্নিহিত অন্য দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফল এবং ঐ দুই বাহুর যেকোনো একটি ও তার উপর অপর বাহুর লম্ব অভিক্ষেপের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণের সমষ্টির সমান।
• যেকোনো ত্রিভূজের সূক্ষ্মকোণের বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি অপেক্ষা ঐ দুই বাহুর যেকোনো একটি ও তার উপর অপরটির লম্ব অভিক্ষেপের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ পরিমান কম।

উপপাদ্য প্রমান:

ত্রিভূজের যেকোনো দুই বাহুর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি, তৃতীয় বাহুর অর্ধেকের উপর বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল এবং ঐ বাহুর সমদ্বিখন্ডক মধ্যমার উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির দ্বিগুণ।

সমাধান

বিশেষ নির্বচন:  এর AD মধ্যমা BC  বাহুকে সমদ্বিখন্ডিত করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে,

প্রমাণ: BC বাহুর উপর (চিত্র-১) এবং BC  বাহুর বর্ধিতাংশের উপর (চিত্র-২) AE  লম্ব আকি।

এখন, ABD স্থূলকোণী ত্রিভূজের  স্থূলকোণ এবং BD এর উপর AD  এর লম্ব অভিক্ষেপ DE

তাহলে,  —————– (i)

আবার, ADC সূক্ষ্মকোণী ত্রিভূজের  সূক্ষ্মকোণ এবং BD এর বর্ধিতাংশের উপর AD  এর লম্ব অভিক্ষেপ DE

তাহলে, 

বা,  —————– (ii) [যেহেতু BD = CD]

(i) + (ii)

;

(প্রমাণিত)

এপোলোনিয়াসের সমস্যা

 

 

আরও দেখুনঃ

• অনুপাত, সদৃশতা ও প্রতিসমতার অনুশীলনী ১