বিভিন্ন কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ

আজকে আমরা আলোচনা করবো বিভিন্ন কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ । যা উচ্চতর গণিতের ত্রিকোণমিতি অংশের অন্তর্গত।

 

 

বিভিন্ন কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ

ত্রিকোণমিতিক আলোচনার দ্বিতীয় অংশে আমরা সূক্ষ্মকোণের (0 < 8 < π /2) অনুপাতসমূহ নির্ণয়ের কৌশল আলোচনা করেছি।

অনুপাতসমূহের পারস্পরিক সম্পর্ক এবং এতদসংক্রান্ত কয়েকটি সহজ অভেদ প্রমাণ করা হয়েছে। বিভিন্ন চতুর্ভাগে অনুপাতসমূহের চিহ্ন নির্ধারণ, আদর্শ কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং অনুপাতসমূহের সর্বনিম্ন ও সর্বোচ্চ মানের ধারণাও দেওয়া হয়েছে। আলোচনার এই অংশে প্রথমে ঋণাত্মক কোণ (−8) এর অনুপাতসমূহ নির্ণয় করা হবে। এর উপর ভিত্তি করে ধারাবাহিকভাবে π /2,-8, π /2+8π +8, π-8, 3π/2+8, 3π/2- 8, 2π + 8, 2π – 8 এবং nπ/2 +8 ও nπ/2 – 8 [ যেখানে n. ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং 0 < 8 < π /2 কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক আলোচনা অন্তর্ভুক্ত থাকবে।

(-৪) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ (0 < 8 < π /2):

মনে করি ঘূর্ণায়মান রশ্মি OA এর আদি অবস্থান OX থেকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘুরে প্রথম চতুর্ভাগে ∠XOA = 6 এবং ঘড়ির কাঁটার দিকে একই দূরত্ব ঘুরে চতুর্থ চতুর্ভাগে ∠XOA’ = -0 কোণ উৎপন্ন করে (নিচের চিত্র)। OA রশ্মির উপর যেকোনো বিন্দু P(x, y) নিই। এখন P(x, y) বিন্দু থেকে OX এর ওপর PN লম্ব আঁকি এবং PN কে বর্ধিত করায় তা OA’ কে Q বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে QN রেখা OX এর ওপর লম্ব। যেহেতু P(x, y) বিন্দুর অবস্থান প্রথম চতুর্ভাগে সেহেতু x > 0, y > 0 এবং ON = x, PN = y.

 

 

এখন ∆OPN ও ∆OQN সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের ∠PON = ∠OON, ∠ONP = ∠ONQ এবং ON উভয় ত্রিভুজের সাধারণ বাহু। সুতরাং ত্রিভুজদ্বয় সর্বসম।

:. PN = QN এবং OP = OQ.

Q বিন্দুর অবস্থান চতুর্থ চতুর্ভাগে হওয়ায় এর কোটি ঋণাত্মক। সুতরাং Q বিন্দুর স্থানাঙ্ক Q(x, -y). OQN সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে ON = ভূমি, QN = লম্ব এবং OQ = অতিভুজ = r (ধরি)।

তাহলে পূর্ববর্তী আলোচনা থেকে আমরা পাই,

sin(-0)= লম্ব/অতিভুজ = QN/ OQ = -y/r = -PN/OP = -sino

cos(-0) ভূমি/অতিভুজ = ON/ OQ = x/r = ON/OP = cos0

tan(-0) = লম্ব/ভূমি =  QN/ ON = -y/x = -PN/ON = -tan0

একইভাবে, cosec(−0) = -cosec0, sec ( -0 ) = sec0, cot(- 0) = -cot0

মন্তব্য:

যেকোনো কোণ 6 এর জন্য উপরিউক্ত সম্পর্কগুলো প্রযোজ্য।

উদাহরণ ১৭.

sin (-π/6) = -sin(π/6), cos(-π/4)= cos (π/4), tan (-π/4) = -tan (π/4), cosec (-π/3) -cosec(π/3),

sec(-π/3) = sec ((π/3), cot (-π/6) = -cot (π/6)

(π/2 – ৪) কোণ বা পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ (0 < ৪ < π/2)

ধরি, কোনো ঘূর্ণায়মান রশ্মি OA তার আদি অবস্থান OX থেকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘুরে প্রথম চতুর্ভাগে ∠XOA = 6 কোণ উৎপন্ন করে। আবার অপর একটি রশ্মি OA’ আদি অবস্থান OX থেকে একইদিকে ঘুরে ∠XOY কোণ উৎপন্ন করার পর OY অবস্থান থেকে ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘুরে ∠YOA’ = –0 কোণ উৎপন্ন করে (নিচের চিত্র)।

 

 

তাহলে, ∠XOA’ = π/2+(-0) = π/2 -0 OP এবং OQ সমান দূরত্ব ধরে P ও Q বিন্দুদ্বয় থেকে OX এর উপর PM ও QN লম্বদ্বয় আঁকি।

এখন ∆POM ও ∆QON সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের ∠OMP – ∠ONQ, ∠POM = ∠OQN এবং OP = OQ. ত্রিভুজদ্বয় সর্বসম।

ON = PM এবং QN = OM

এখন P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (x, y) হলে

OM = x, PM = y

ON=y, QN=x

Q বিন্দুর স্থানাঙ্ক (y)

∆NOQ এর ক্ষেত্রে আমরা পাই,

sin (π/2 – 8) = x/r =cos8,  cos (π/2 – 8)= y/r = sin8
tan (π/2 – 8) = x/y = cot8

একইভাবে, cosec = (π/2 -8) = sec8, sec (π/2 -8 ) = cosec8

মন্তব্য:

যেকোনো কোণ ৪ এর জন্য উপরিউক্ত সম্পর্কগুলো প্রযোজ্য।

উদাহরণ ১৮.

sin(π/3)  = sin(π/2 – π/6) = cosπ/6

tan(π/6) = tan(π/2 – π/3) = cotπ/3,  sec(π/4) = sec(π/2 – π/4) = cosec π/4

লক্ষণীয়:

8 এবং (π/2 – ৪) কোণ দুইটি পরস্পর পূরক (Complement Angle)। এদের একটির sine অপরটির cosine, একটির tangent অপরটির cotangent এবং একটির secant অপরটির cosecant এর সমান।

 

(π/2+ ৪) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ (0 <8 <π/2)

ধরি, ঘূর্ণায়মান রশ্মি OA এর আদি অবস্থান OX থেকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘুরে প্রথম চতুর্ভাগে ∠XOA = 8 এবং একই দিকে আরও ঘুরে ∠AOA = π/2 কোণ উৎপন্ন করে (নিচের চিত্র)।

তাহলে, ∠XOA = ∠YOA’ = 8 এবং ∠XOA’ = π/2 +8

মনে করি, OA রশ্মির উপর P(x, y) যেকোনো বিন্দু। OA’ এর উপর Q বিন্দুটি এমনভাবে নিই যেন OP = OQ হয়। P ও Q বিন্দু থেকে x অক্ষের উপর PM ও QN লম্ব টানি।

∠NQO = ∠YOQ= ∠POM= 8

 

 

 

এখন সমকোণী ত্রিভুজ ∆POM ও ∆QON এর মধ্যে

∠POM = ∠NQO, ∠PMO = ∠QNO এবং OP=OQ=r

ΔΡΟΜ ও  ΔΟΟΝ সর্বসম

ON = PM, QN = OM

এখন P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (x, y) হলে, ON = – PM = y এবং QN = OM = x

Q বিন্দুর স্থানাঙ্ক Q (-y,x)

তাহলে আমরা পাই,

sin (π/2+0) = x/r = cos0,  cos (π/2+0) = -y/r = – sino

tan(π/2 + 0) = x/-y= -(x/y) = -cot0

একইভাবে, cosec (π/2+0) = seco, sec (π/2+0) = -coseco

cot0 (π/2+0) = -tan0

মন্তব্য:

যেকোনো কোণ ৪ এর জন্য উপরিউক্ত সম্পর্কগুলো প্রযোজ্য।

উদাহরণ ১৯.

sin(2π/3) = sin(π/2+π/6) = cos(π/6) = √3/2

cos(3π/4) = cos(π/2+π/4) = -sinπ/4 = -1/√2

tan(5π/6) =  tan(π/2 + π/3) =  – cot0 π/3 = -1/√3

(π + ৪) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ (0 <0 <2):

ধরি ঘূর্ণায়মান রশ্মি OA আদি অবস্থান OX থেকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘুরে প্রথম চতুর্ভাগে ∠XOA = ৪ এবং একই দিকে আরও ঘুরে তৃতীয় চতুর্ভাগে ∠AOA কোণ উৎপন্ন করে (নিচের চিত্র)। তাহলে ∠XOA’ = ( π + 8).

এখন OA রশ্মির উপর যেকোনো বিন্দু P এবং OA’ এর উপর Q বিন্দুটি এমনভাবে নিই যেন, OP = OQ =r হয়। P ও Q হতে x অক্ষের উপর PM ও QN লম্ব টানি।

 

 

∆POM ও ∆CON সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে ∠OMP = ∠ONQ, ∠POM = ∠QON এবং OP = OQ =r. সুতরাং ত্রিভুজদ্বয় সর্বসম ।

PM = QN এবং OM = ON

এখন P বিন্দুর স্থানাঙ্ক ( x,y) হলে, ON = -x, NQ = – y

Q বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-x, -y)

অর্থাৎ, sin ( π + 8) = -y/r = -(y/r) =  -sine

cos(π + 8) = -x/r = -(x/r) = -cos8,

tan(π + 8) = -y/-x = y/x = tan8

অনুরূপভাবে, cosec (π + 8) = cosec8

sec(π + 8) = sec8, cot (π + 8) = cot8

মন্তব্য:

যেকোনো কোণ । এর জন্য উপরিউক্ত সম্পর্কগুলো প্রযোজ্য।

উদাহরণ ২০.

sin (4π/3) = sin(π+π/3) = – sin(π/3) = -√3/2

cos (5π/4) = cos(π+π/4) = – cos(π/4) = -1/√2

tan (7π/6) = tan(π+π/6) =  tan(π/6) = 1/√3

(π – ৪) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ (0 <8 <π/2)

ধরি ঘূর্ণায়মান রশ্মি OA আদি অবস্থান OX থেকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘুরে ∠XOA = 8 কোণ উৎপন্ন করে। রশ্মিটি একই দিকে আরও ঘুরে ∠XOX’ = π কোণ উৎপন্ন করার পর OX’ থেকে ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘুরে ∠X’OA’ = – 8 কোণ উৎপন্ন করে (নিচের চিত্র)। তাহলে ∠XOA’ = π + (-8) = π – 8.

OA রশ্মির উপর P যেকোনো বিন্দু এবং OA’ এর উপর Q যেকোন বিন্দু নিই যেন, OP = OQ = r হয়।

 

 

এখন ∆OMP ও ∆ONQ সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে ∠OMP = ∠ONQ, ∠POM = ∠QON এবং OP = OQ =r. সুতরাং ত্রিভুজদ্বয় সর্বসম এবং ON = OM, QN = PM.

এখন P বিন্দুর স্থানাঙ্ক ( x,y ) হলে OM = x, PM = y

ON = -x, QN = -y

Q বিন্দুর স্থানাঙ্ক Q (-x,y)

তাহলে, sin(π – 8) = y/r = sin8,

cos(π – 8) = -x/r = -cose

tan(π – 8)= -y/x = tane

অনুরূপভাবে, cosec ( π – 8 ) = cosec8

sec ( π – 8 ) = – sece, cot (π – 8) = -cot8

মন্তব্য:

যেকোনো কোণ ৪ এর জন্য উপরিউক্ত সম্পর্কগুলো প্রযোজ্য।

উদাহরণ ২১.

Sin(2π/3) = sin (π- π/3) = sin(π/3) = √3/2

cos(3π/4) = Cos (π- π/4) = – Cos (π/4) = -1/√2

tan(5π/6) = tan (π- π/6) = -tan(π/6) = -1/√3

লক্ষণীয়:

8 এবং (π – 8) কোণ দুইটি পরস্পর সম্পূরক। সম্পূরক কোণের sine ও cosecant সমান ও একই চিহ্নবিশিষ্ট। কিন্তু cosine, secant, tangent cotangent সমান ও বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট ।

 

 

(3π/2- ৪) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ (0 <8 <π/2):

পূর্ববর্তী আলোচনার সাপেক্ষে পাওয়া যায়;

Sin(3π/2 -8 ) = sin {π+ (π/2- 8) } = -sin (π/2- 8) = -cos8

cos(3π/2 -8 ) = cos {π+ (π/2- 8) } = cos(π/2- 8) = -sin8

tan(3π/2 -8 ) = tan {π+ (π/2- 8) } = tan(π/2- 8) = -cot8

অনুরূপভাবে, cosec(3π/2 -8 )  =-sec8

sec(3π/2 -8 )  =-cosec8

cot(3π/2 -8 )  = tan8.

মন্তব্য:

যেকোনো কোণ ৪ এর জন্য উপরিউক্ত সম্পর্কগুলো প্রযোজ্য।

(2π – ৪) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ (0 < 9 < : <):

প্রমিত বা আদর্শ অবস্থানে (2π – 6 ) কোণের অবস্থান চতুর্থ চতুর্ভাগে থাকে এবং (−8) কোণের সাথে – মিলে যায়। ভাই (−8) ও ( 2π – 8 ) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত সমান।

sin ( 2π – 8) = sin( -8 ) = -sin8, cos( 2π-8 ) = cos (- 8) = cos8

tan(2π-8)= tan(-8)=-tan8, cosec(2π-8) = cosec(-8) = -cosec8

sec (2π – 8) = sec ( 8 ) = sec এবং cot (2π – 8) = cot (-8) = -cot8

মন্তব্য:

যেকোনো কোণ ৪ এর জন্য উপরিউক্ত সম্পর্কগুলো প্রযোজ্য।

 

 

(2π + 8) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ (0 <8 <π/2):

প্রমিত বা আদর্শ অবস্থানে (2π + 8) কোণের অবস্থান প্রথম চতুর্ভাগে থাকায় 8 কোণের ও ( 2π +8) কোণের অনুপাতসমূহ একই হবে।

sin ( 2π + 8) = sin8, cos (2π + 8) = cos8

tan (2π + 8) = tan8, cosec ( 2π + 8) = cosec8

sec (2π + 8) = sec8, cot (2π + 8) = cot8.

মন্তব্য:

যেকোনো কোণ ৪ এর জন্য উপরিউক্ত সম্পর্কগুলো প্রযোজ্য।

(3π/2+ ৪) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ (0 <8 < π/2):

(3π/2+ ৪)কোণের জন্য 3π/2+ ৪ = 2π – (π/2 -8)

Sin(3π/2+ ৪) = sin {2π – (π/2 -8)} = — sin(π/2 -8) = cos8

cos (3π/2+ ৪) = cos(π/2 -8) = Sin8

tan (3π/2+ ৪) = – tan(π/2 -8) = cot8

অনুরূপভাবে, cosec (3π/2+ ৪) = – sece

sec (3π/2+ ৪) = cosec8, cot (3π/2+ ৪) = -tan8

মন্তব্য:

যেকোনো কোণ 6 এর জন্য উপরিউক্ত সম্পর্কগুলো প্রযোজ্য।

যেকোনো কোণের অর্থাৎ, (n × π/2 ±8) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ নির্ণয়ের পদ্ধতি (0 <8 <π/2):

নিম্নোক্ত পদ্ধতিতে যেকোনো ত্রিকোণমিতিক কোণের অনুপাতসমূহ নির্ণয় করা যায়।

ধাপ ১.

প্রথমে প্রদত্ত কোণকে দুইভাগে ভাগ করতে হবে যার একটি অংশ π/2 বা π/2 এর n গুণিতক এবং অপরটি সূক্ষকোণ। অর্থাৎ প্রদত্ত কোণকে (n × π/2±8 ) আকারে প্রকাশ করতে হবে।

ধাপ ২.

n জোড় সংখ্যা হলে অনুপাতের ধরণ একই থাকবে অর্থাৎ sine অনুপাত sine থাকবে, cosine অনুপাত cosine থাকবে ইত্যাদি।

n বিজোড় সংখ্যা হলে sine tangent ও secant অনুপাতগুলো যথাক্রমে cosine, cotangent ও cosecant এ পরিবর্তিত হবে। একইভাবে, cosine, cotangent ও cosecant যথাক্রমে sine, tangent ও secant এ পরিবর্তিত হবে।

ধাপ ৩.

(n × π/2±8 ) কোণের অবস্থান কোন চতুর্ভাগে সেটা জানার পর ঐ চতুর্ভাগে প্রদত্ত অনুপাতের যে চিহ্ন সেই চিহ্ন ধাপ ২ থেকে নিরূপিত অনুপাতের পূর্বে বসাতে হবে।

 

 

বিশেষ দ্রষ্টব্য:

এখানে বর্ণিত পদ্ধতির সাহায্যে যেকোনো ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ণয় সম্ভব বলে শিক্ষার্থীদের এই পদ্ধতিতে ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ণয়ের জন্য উপদেশ দেওয়া হলো।

উদাহরণ ২২.

sin (9π/2 + 8 ) কোণের ক্ষেত্রে n = 9 একটি বিজোড় সংখ্যা তাই sin পরিবর্তিত হয়ে cos হবে। আবার, (9π/2+0) দশম বা দ্বিতীয় চতুর্ভাগে থাকে ফলে sin এর চিহ্ন ধনাত্মক।

sin (9π/2 + 8 ) = cos8

sin (9π/2 – 8 ) এর ক্ষেত্রে n = 9 বিজোড় এবং (9π/2 – 8 ) এর চিহ্ন ধনাত্মক। 2 -0 নবম বা প্রথম চতুর্ভাগে থাকায় sinএ র চিহ্ন ধনাত্মক।

sin(9π/2 – 8 ) = cos8

tan(9π/2 + 8 ) এর ক্ষেত্রে n = 9 বিজোড় বলে tan হবে cot এবং (9π/2 + 8 )  দশম বা দ্বিতীয় চতুর্ভাগে থাকায় tan এর চিহ্ন ঋণাত্মক।

tantan(9π/2 + 8 )= – cot8

একইভাবে, tan(9π/2 – 8 ) = cot8

উদাহরণ ২৩, মান নির্ণয় কর।

ক) sin ( 10π + 8)

খ) cos (19π/3)

গ) tan(11π/6)

ঘ) cot(8-9π/2)

ঙ) sec (-17π/2)

সমাধান :

ক) sin ( 10π + 8) = sin(20 x π/2 +8)

এখানে n = 20 এবং sin(20 x π/2 + ৪) কোণটি 21 তম বা প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত।

sin(10π+8) = sin8

খ) cos (19π/3)

= cos (6π +π/3) = cos(12 x π/2 +π/3)

এখানে n = 12 এবং 19π/3 প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত।

cos (19π/3) = cosπ/3 = 1/2

গ) tan(11π/6) = -tanπ/6 = -1/√3

এখানে n = 4 এবং চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত।

ঘ) cot(8-9π/2) = cot {-(9π/2-8)} = -cot (9xπ/2-8)

এখানে n = 9 এবং 9π/2-8 প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত।

cot(8- 9π/2) = -(tan)8 = -tan8

ঙ) sec (-17π/2) = ঙ) sec (17π/2) [‘.’ sec(-0) = sec8]

= sec (17xπ/2+0)

এখানে n = 17 এবং 17π/2, y অক্ষের উপরে অবস্থিত।

sec(-17π/2) = cosec0, অসংজ্ঞায়িত

 

 

উদাহরণ ২৪.

মান নির্ণয় কর :

sin11π/90+cosπ/30 +sin101π/90 +cos31π/30 +cos5π/3

সমাধান:

sin11π/90+cosπ/30 +sin101π/90 +cos31π/30 +cos5π/3

= sin22π/180+cos6π/180 +sin202π/180 +cos186π/180 +cos300π/180

= sin22π/180+cos6π/180 +sin(π + 22π/180) +cos(π +6π/180) +cos(2π – 60π/180)

= sin22π/180+cos6π/180 – sin22π/180 – cos6π/180 +cos 60π/180

= cos π/3

=1/2

উদাহরণ ২৫.

tan8 = 5/12 এবং cos8 ঋণাত্মক হলে, প্রমাণ কর যে,  (sin8+cos(-8))/( sec(-8) + tan8) = 51 /26

সমাধান:

tan8 = 5/12 এবং cos8 ঋণাত্মক হওয়ায় ৪ কোণের অবস্থান তৃতীয় চতুৰ্ভাগে।

অর্থাৎ,tan8 = 5/12 = y/x

x= 12,y = 5

r=√{(12)²+(5)²} = √(144 +25)= √169 = 13

sin8 = -y/r = -5 /13

cos8 = -x/r = -12/13  এবং sec8 = 1 /cos8 = -13/12

(sin8+cos(-8))/( sec(-8) + tan8)

= (sin8+cos8)/( sec8 + tan8) [cos(-8)= cos8, sec(-8) = sec8]

= (-5 /13-12/13)/(-13/12+5/12)

= (-17/13)/(-8/12)

= (17/130 x (12/8)

= 51/26 [প্রমাণিত]

উদাহরণ ২৬.

tan8 = -√3, π/2<8<2π হলে ৪ এর মান কত?

সমাধান:

tan8 ঋণাত্মক হওয়ায় এর অবস্থান দ্বিতীয় বা চতুর্থ চতুর্ভাগে থাকবে।

দ্বিতীয় চতুর্ভাগে tan8 = -√3 = tan(π-π/3) = tan2π/3

8 = 2π/ 3

এটি গ্রহণযোগ্য মান। কারণ π/2<8<2π

আবার, চতুর্থ চতুর্ভাগে tan8 = -√3 = tan(2π-π/3) = tan5π/3

8 = 5π/ 3

এটিও গ্রহণযোগ্য মান। কারণ π/2<8<2π

8  এর মান 2π/ 3,  5π/ 3

 

 

উদাহরণ ২৭.

সমাধান কর:

0 < 8 < π/2হলে sin8 + cos8 = √2

sin8 = √2-cos8

sin28 = 2-2√2cos8 + cos28

1-cos28 = 2-2√2cos8 + cos28

cos28 -2√2cos8 +1=0 –

(√2cos8 – 1)²=0

√2cos8-1 = 0

cos8 = 1/√2 = cos π/4

8 = π/4

নির্ণেয় সমাধান: 8 = π/4

উদাহরণ ২৮

০ < 8 < 2π ব্যবধিতে সমীকরণটির সমাধান কর:

sin28 – cos28 = cos8

1-cos28 – cos28 = cos8

1-2cos28 – cos8 = 0

2cos²8 – cos8 -1=0

(2cos8 – 1)(cos8 + 1) = 0

2cos8 – 1 = 0 অথবা  cos8 + 1 = 0

অর্থাৎ, cos8 = 1/2 অথবা cos = cosπ

8 = π /3,π,5π/3

নির্ণেয় সমাধান: 8 = π /3,π,5π/3

উদাহরণ ২৯.

A = (cot8 + cosec8 -1 )/(cot8 – cosec8 +1) এবং B = cot8 + cosec8

ক) 8= π/3 হলে দেখাও যে, B = √3

খ) প্রমাণ কর যে, A2 – B2 = 0

গ) B = 1/√3 এবং 0 <8 ≤ 2π হলে ৪ এর সম্ভাব্য মান নির্ণয় কর।

সমাধান :

ক) B = cot8 + cosec8 = cotπ /3 +cosec π /3 [:8 = π /3]

1/√3 + 2/√3 = 3√3 = √3

খ) A = (cot8 + cosec8 – 1 )/cot8 – cosec8+1)

= {cot8 + cosec8 -(cosec28 – cot28)} /(cot8 – cosec8 +1 )[cosec28-cot28=1]

={cot8 + cosec8 – (cosec8 + cot8)(cosec8 – cot8)} /(cot8 – cosec8 +1 )

= {(cot8 + cosec8)(1 – cosec8 + cot8)} /(cot8 – cosec8 +1 )

= (cot8 + cosec8)

= B

A² = B²

A² – B² = 0

1) B= 1 /√3

বা, cot8 + cosec8 = 1 /√3

বা, cos8/sin8 + 1/sin8 = 1 /√3

বা, (cos8 + 1)/sin8 = 1 /√3

বা, √3(cos8 + 1) = sin8

বা, 3(cos²8+2cos8 + 1) = sin²8

বা, 3cos28+6cos8 + 3 = 1-cos²8

বা, 4cos²8+6cos8 +2=0

বা, 2cos28 + 3cos8 + 1 = 0

বা, 2cos28+2cos8 + cos8 + 1 = 0

বা, 2cos8 (cos8 + 1) + 1 (cos8 + 1) = 0

বা, (cos8 + 1 ) (2cos8 + 1) = 0

cos8 + 1 = 0 অথবা, 2cos8 + 1= 0

অর্থাৎ, cos8 = −1 অথবা, cos8 = – 1/2

অর্থাৎ, cos8 = cosπ অথবা, cosπ = cos (π -π/3), Cos (π+ π/3)

অর্থাৎ, 0 = π অথবা, 2π/3, 4π/3 ;  8= π, 4π/3 দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হয় না।

8= 2π/3

নির্ণেয় সমাধান: 8= 2π/3

আরও দেখুনঃ

• পৌনঃপুনিক দশমিকের সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর