গণিতে লগারিদম

আজকে আমাদের আলোচনার বিষয়ঃ গণিতে লগারিদম। এটি নবম – দশম শ্রেনী গণিতের সূচক ও লগারিদম এর অন্তর্গত।

 

 

গণিতে লগারিদম

সূচকীয় রাশির মান বের করতে লগারিদম (Logarithms) ব্যবহার করা হয়। সাধারণ লগারিদমকে সংক্ষেপে লগ (Log) লেখা হয়। বড় বড় সংখ্যা বা রাশির গুণফল, ভাগফল ইত্যাদি লগারিদমের সাহায্যে সহজে নির্ণয় করা যায়।

আমরা জানি, 23 = ৪ এই গাণিতিক উক্তিটিকে লগের মাধ্যমে লেখা হয় log2 8 = 3। আবার, = বিপরীতক্রমে, log28 = 3 হলে, সূচকের মাধ্যমে লেখা যাবে 23 ৪। অর্থাৎ, 23 = log28 = 3 এবং বিপরীতক্রমে, log28 = 3 হলে 23 = 8। একইভাবে, 2-3 = 1/23 1/৪ হলে কে লগের মাধ্যমে লেখা যায়, 10821/8 = -3

ax = N, (a > 0, a ≠ 1 ) হলে, x = logo N কে N এর a ভিত্তিক লগ বলা হয়।

দ্রষ্টব্য: x ধনাত্মক বা ঋণাত্মক যাই হোক না কেন, a > 0 হলে ax সর্বদা ধনাত্মক। তাই শুধু ধনাত্মক সংখ্যারই লগের মান আছে যা বাস্তব। শূন্য বা ঋণাত্মক সংখ্যার লগের বাস্তব মান নেই।

 

 

 

 

লগারিদমের সূত্রাবলি (Laws of Logarithms )

ধরি, a > 0, a ≠ 1; b > 0, b≠ 1 এবং M > 0, N > 0

সূত্র ৬ (শূন্য ও এক লগ).

a > 0, a = 1 হলে

ক) loga1 = 0

খ) logaa = 1

প্রমাণ:

সূচকের সূত্র হতে জানি, a° = 1

লগের সংজ্ঞা হতে পাই, loga 1 = 0 (প্রমাণিত)

আবার, সূচকের সূত্র হতে জানি, a1 = a

লগের সংজ্ঞা হতে পাই, loga = 1 (প্রমাণিত)

 

 

সূত্র ৭ (গুণফলের লগ).

loga (MN) = logaM + logaN

প্রমাণ:

ধরি, logaM = x, logaN = y

M = ax, N = av

এখন, MN = ax. av = ax+y

loga (MN) = x + y

বা, loga (MN) = loga M + loga N [ x, y এর মান বসিয়ে]

loga (MN) = logaM + loga N (প্রমাণিত)

দ্রষ্টব্য:

loga(MNP … ) = logaM + logaN + logaP + …

দ্রষ্টব্য:

log (M±N) ≠ logM ± logN

 সূত্র ৮ (ভাগফলের লগ).

logaM/N = logaM-logaN

প্রমানঃ

ধরি, logaM = x, logaN = y

M = ax, N = ay

এখন, M/N = ax/ ay = ax-y

logaM/N = x-y

logaM/N = log M-log N (প্রমাণিত)

 

 

সূত্র ৯ (ঘাতের লগ).

logaMr = rlogaM

প্রমানঃ

ধরি, logaM = x, . M = ax

বা,  (M)r = (ax)r

বা, Mr = arx

logaMr = rx, logaMr = r logM

logaMr = rlogM (প্রমাণিত)

দ্রষ্টব্য:

(logaM)r এবং rlogaM সমান নাও হতে পারে।

(log24)5 = (log222)5 =25 = 32, 5log24 = 5.2=10 ≠ 32

সুত্র ১০ (ভিত্তি পরিবর্তন)

log M = log M x log b

প্রমানঃ

ধরি,

logaM = x, logbM = y

ax = M , by = M

ax = by,

বা, (ax)1/y = (by)1/y

বা, b = ax/y

x/y = logab

বা, x = ylogab

বা, logaM = logbM x logab (প্রমাণিত)

 

 

অনুসিদ্ধান্ত ১.

logab = 1/logba অথবা  logba = 1/logab

প্রমানঃ

আমরা জানি,

logaM = logbM x logab

M = a বসিয়ে পাই, logaa= logba x logab

বা, 1 = logba x logab

logab =  logba অথবা logba = 1/logab (প্রমাণিত)

উদাহরণ ৬.

মান নির্ণয় কর: ক) 10g10 100

খ) 10g31/9

গ) log√381

সমাধান:

ক) log10 100= log10 102 = 2log1010 [ log10M = rlog10M]

=2×1 = 2 [ logaa = 1]

খ) 10g31/9 = log3(1/32) =log33-2 = -2log,3 [. log, M = rlog,M]

= -2×1 = 2 [. log, a = 1]

গ) log√381 = log√334 = log√3{(√3)²} = log√3(√3)8

=8log√3√3 = 8×1 = 8 [. log₁a = 1]

 

 

উদাহরণ ৭.

ক) 5√5 এর 5 ভিত্তিক লগ কত? খ) 400 এর লগ 4 হলে লগের ভিত্তি কত?

সমাধান :

ক) 5√5 এর 5 ভিত্তিক লগ

= log55√5=log5(5 × 51/2) = log553/2

= 3/2log55 [ logaM = rlogaM]

= 3/2 x 1 = 3/2  [‘. log, a = 1]

খ) ধরি, ভিত্তি а

প্রশ্নমতে, loga400 = 4

a4 = 400

a4 = (20)²= {(2√5)²)² = (2√5)4

a=2√5 [‘.’ ax = bx, ax≠0, a = b]

ভিত্তি 2√5

উদাহরণ ৮.

x এর মান নির্ণয় কর:

ক) log10x = -2

খ) logx324 = 4

সমাধান:

ক) log10x = -2

x = 10-2 .. x = 1/102 = 1/ 100 = 0.01

খ) logx324 = 4

x4 = 324 = 3x3x3x3x2x2 = 34 x 22

x4 = 34 × (√2)4 = (3√2)4

x = 3√2

উদাহরণ ৯.

প্রমাণ কর যে, 3log102 + 108 105 = 108 1040

সমাধান: বামপক্ষ = 3108102 + log105

= log 1023 + log105 [ log, M” = rlog, M]

= log108+ log105

= log10(8 × 5) [.log(MN) = log₁M + log₁N]

= log1040 = ডানপক্ষ (প্রমাণিত )

উদাহরণ ১০.

সরল কর :

(log10√27+ log108 – log10√1000)/ log101.2

সমাধান: (log10√27+ log108 – log10√1000)/ log101.2

= (log10 (33)1/2 + log108 – log10(103)1/2) /log1012/10

= (log10 (3)3/2 + log1023 – log10(10)3/2) /log1012-log1010

= 3/2(log10 (3) + 3log102 – 3/2log10(10) /log10(3 x 22) -log1010

= 3/2(log10 (3) + 2log102 – 1) /log103-2log102 -1  [ log1010=1]

= 3/2

 

 

অনুশীলনী

১ . মান নির্ণয় কর:

ক) log381

খ)log5√5

গ) log42

ঘ) log2√5400

ঙ) log5 (∛5.√5)

২. x এর মান নির্ণয় কর:

ক) log5x = 3

খ) logx25 = 2

গ) logz 1/16 = -2

৩. দেখাও যে,

ক) 5log105 – log1025 = log10125

খ) log10 50/147 = log102+2log105 – log103-2log107

গ) 3log102+2log103+ log105 = log10360

৪. সরল কর:

ক) 7log1010/9 – 2log1025/24 + 3log1081/80

খ) log7(5√7.√7)-log∛3+ log42

গ) loge(a3b3/c3) + loge(b3c3/a3) + loge(c3d3/a3) – 3logeb2c

৫. x=2, y = 3, z= 5,w=7

ক) √y3 এর 3 ভিত্তিক লগ নির্ণয় কর।

খ)wlogxz/y2- xlogz2/x2y +ylog- এর মান নির্ণয় কর।

গ) দেখাও যে, {log√y³+ylogx – y/xlog(xz)}/( log(xy) – logz ) = logy√y³

আরও দেখুনঃ

• ভাগশেষ উপপাদ্য