গনিতে আয়তন

আজকে আমাদের আলোচনার বিষয়ঃ গনিতে আয়তন । এটি অষ্টম শ্রেনী গণিতের পরিমাপ অংশের অন্তর্গত।

 

 

গনিতে আয়তন

ঘনবস্তুর ঘনফলই আয়তন

আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তনের পরিমাপ = দৈর্ঘ্যের পরিমাপ x প্রস্থের পরিমাপ x উচ্চতার পরিমাপ

দৈর্ঘ্যের পরিমাপ, প্রস্থের পরিমাপ ও উচ্চতার পরিমাপ একই এককে প্রকাশ করে আয়তনের পরিমাপ ঘন এককে নির্ণয় করা হয়। দৈর্ঘ্য ১ সেন্টিমিটার, প্রস্থ ১ সেন্টিমিটার এবং উচ্চতা ১ সেন্টিমিটারবিশিষ্ট বস্তুর আয়তন ১ ঘন সেন্টিমিটার ।

আয়তন পরিমাপে মেট্রিক এককাবলি

১০০০ ঘন সেন্টিমিটার ( ঘন সে. মি. ) = ১ ঘন ডেসিমিটার (ঘ. ডেসি.মি.) = ১ লিটার ১০০০ ঘন ডেসিমিটার = ১ ঘন মিটার (ঘ.মি.) ১ ঘন মিটার = ১ স্টেয়র ১০ ঘন স্টেয়র = ১ ডেকা স্টেয়র ১ ঘন সে.মি. (সি.সি.) = ১ মিলিলিটার ১ ঘনইঞ্চি = ১৬.৩৯ মিলিলিটার (প্রায়)

 

আয়তনের মেট্রিক ও ব্রিটিশ এককের সম্পর্ক

১ স্টেয়র = ৩৫.৩ ঘনফুট (প্রায়) ১ ডেকাস্টেয়র = ১৩.০৮ ঘনগজ (প্রায়) ১ ঘনফুট = ২৮.৬৭ লিটার (প্রায়)

উদাহরণ ৭ ।

একটি বাক্সের দৈর্ঘ্য ২ মিটার, প্রস্থ ১ মিটার ৫০ সে. মি. এবং উচ্চতা ১ মিটার । বাক্সটির আয়তন কত ?

সমাধান :

দৈর্ঘ্য = ২ মিটার = ২০০ সে. মি.

প্রস্থ = ১ মিটার ৫০ সে. মি. = ১৫০ সে. মি.

এবং উচ্চতা = ১ মিটার = ১০০ সে. মি.

বাক্সটির আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা

= (২০০ × ১৫০ × ১০০) ঘন সে.মি.

= ৩০০০০০০ ঘন সে.মি.

= ৩ ঘনমিটার

বিকল্প পদ্ধতি :

দৈর্ঘ্য = ২ মিটার, প্রস্থ = ১ মিটার ৫০ সে. মি. = ১ ১/২মিটার এবং উচ্চতা = ১ মিটার ।

:: বাক্সটির আয়তন = দৈর্ঘ্য x প্রস্থ x উচ্চতা

= ( ২ x ৩/২ x ১) ঘনমিটার

= ৩ ঘনমিটার

নির্ণেয় আয়তন ৩ ঘনমিটার ।

 

 

উদাহরণ ৮ ।

একটি চৌবাচ্চায় ৮০০০ লিটার পানি ধরে। চৌবাচ্চাটির দৈর্ঘ্য ২.৫৬ মিটার এবং প্রস্থ ১.২৫ মিটার হলে, গভীরতা কত ?

সমাধান :

চৌবাচ্চাটির তলার ক্ষেত্রফল = ২.৫৬ মিটার x ১.২৫ মিটার

= ২৫৬ সে. মি. x ১২৫ সে. মি.

= ৩২০০০ বর্গ সে. মি.

চৌবাচ্চায় ৮০০০ লিটার বা ৮০০০ × ১০০০ ঘন সে. মি. পানি ধরে। [ ১০০০ ঘন সে. মি. = ১ লিটার ]

অতএব, চৌবাচ্চাটির আয়তন ৮০০০০০০ ঘন সে. মি

.:. চৌবাচ্চাটির গভীরতা = ৮০০০০০০/৩২০০০ সে. মি. = ২৫০ সে. মি. = ২.৫ মিটার ।

বিকল্প পদ্ধতি :

চৌবাচ্চাটির তলার ক্ষেত্রফল = ২.৫৬ মিটার x ১.২৫ মিটার = ৩.২ বর্গ মি.

চৌবাচ্চায় ৮০০০ লিটার বা ৮০০০ × ১০০০ ঘন সে. মি. পানি ধরে ।

চৌবাচ্চাটির আয়তন = (৮০০০ × ১০০০)/১০০০০০০  ঘন মি. = ৮ ঘন মিটার [ ১ ঘন মি. = ১০০০০০০ ঘন সে.মি. ]

চৌবাচ্চাটির গভীরতা = ৮/৩.২ মিটার = ২.৫ মিটার ।

উদাহরণ ৯।

একটি ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৩ গুণ । প্রতি বর্গমিটারে ৭.৫০ টাকা দরে ঘরটির মেঝে কার্পেট দিয়ে ঢাকতে মোট ১১০২.৫০ টাকা ব্যয় হয় । ঘরটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর ।

 

 

সমাধান :

৭.৫০ টাকা খরচ হয় ১ বর্গমিটারে

১ টাকা খরচ হয় ১/৭.৫০ বর্গমিটারে

১১০২.৫০ টাকা খরচ হয় (১ × ১১০২.৫)/ ৭.৫০ বর্গমিটারে

= ১৪৭ বর্গমিটারে

অর্থাৎ, ঘরের ক্ষেত্রফল ১৪৭ বর্গমিটার ।

মনে করি, প্রস্থ = ক মিটার

দৈর্ঘ্য = ৩ক মিটার

ক্ষেত্রফল (দৈর্ঘ্য x প্রস্থ ) বর্গ একক

= (৩ক X ক) বর্গমিটার = ৩ক২ বর্গমিটার

শর্তানুসারে,

৩ক২ = ১৪৭

বা, ক‍২ = ১৪৭

বা, ক‍২ = ৪৯

ক  = √৪৯ =৭

অতএব, প্রস্থ = ৭ মিটার,

এবং দৈর্ঘ্য = (৩ × ৭) মিটার বা ২১ মিটার ।

উদাহরণ ১০।

বায়ু পানির তুলনায় ০.০০১২৯ গুণ ভারী। যে ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে ১৬ মিটার, ১২ মিটার ও ৪ মিটার, তাতে কত কিলোগ্রাম বায়ু আছে?

সমাধান :

ঘরের আয়তন = দৈর্ঘ্য x প্রস্থ x উচ্চতা

= ১৬ মি. × ১২ মি. x ৪ মি.

= ৭৬৮ ঘনমিটার

= ৭৬৮ × ১০০০০০০ ঘন সে.মি.

= ৭৬৮০০০০০০ ঘন সে.মি.

বায়ু পানির তুলনায় ০.০০১২৯ গুণ ভারী

১ ঘন সে. মি. বায়ুর ওজন = ০.০০১২৯ গ্রাম

অতএব, ঘরটিতে বায়ুর পরিমাণ = ৭৬৮০০০০০০ × ০.০০১২৯ গ্রাম

= ৯৯০৭২০ গ্রাম

= ৯৯০.৭২ কিলোগ্রাম

ঘরটিতে ৯৯০.৭২ কিলোগ্রাম বায়ু আছে ।

উদাহরণ ১১ ।

২১ মিটার দীর্ঘ এবং ১৫ মিটার প্রস্থ একটি বাগানের বাইরে চারদিকে ২ মিটার প্রশস্ত একটি রাস্তা আছে । প্রতি বর্গমিটারে ২.৭৫ টাকা দরে রাস্তাটিতে ঘাস লাগাতে মোট কত খরচ হবে?

 

 

সমাধান :

রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = ২১ মি. + (২ + ২) মি. = ২৫ মিটার

রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ = ১৫ মি. + (২ + ২) মি. = ১৯ মিটার

রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = (২৫ × ১৯) বর্গমিটার = ৪৭৫ বর্গমিটার

রাস্তাবাদে বাগানের ক্ষেত্রফল = (২১ × ১৫) বর্গমিটার = ৩১৫ বর্গমিটার

রাস্তার ক্ষেত্রফল = (৪৭৫ – ৩১৫) বর্গমিটার = ১৬০ বর্গমিটার

ঘাস লাগানোর মোট খরচ  = (১৬০ × ২.৭৫) টাকা = ৪৪০.০০ টাকা

অতএব, ঘাস লাগানোর মোট খরচ ৪৪০ টাকা ।

উদাহরণ ১২।

৪০ মিটার দৈর্ঘ্য এবং ৩০ মিটার প্রস্থবিশিষ্ট একটি মাঠের ঠিক মাঝে আড়াআড়িভাবে ১.৫ মিটার প্রশস্ত দুইটি রাস্তা আছে। রাস্তা দুইটির মোট ক্ষেত্রফল কত ?

 

 

সমাধান :

দৈর্ঘ্য বরাবর রাস্তাটির ক্ষেত্রফল = ৪০ × ১.৫ বর্গমিটার = ৬০ বর্গমিটার

প্রস্থ বরাবর রাস্তাটির ক্ষেত্রফল = = (৩০ – ১.৫) × ১.৫ বর্গমিটার = ২৮.৫ × ১.৫ বর্গমিটার = ৪২.৭৫ বর্গমিটার

অতএব, রাস্তাদ্বয়ের ক্ষেত্রফল = (৬০ + ৪২.৭৫) বর্গমিটার = ১০২.৭৫ বর্গমিটার

রাস্তাদ্বয়ের মোট ক্ষেত্রফল ১০২.৭৫ বর্গমিটার ।

উদাহরণ ১৩ ।

২০ মিটার দীর্ঘ একটি কামরার মেঝে কার্পেট দিয়ে ঢাকতে ৭৫০০ টাকা খরচ হয় । যদি ঐ কামরাটির প্রস্থ ৪ মিটার কম হতো, তবে ৬০০০ টাকা খরচ হতো । কামরাটির প্রস্থ কত ?

সমাধান :

কামরার দৈর্ঘ্য ২০ মিটার । প্রস্থ ৪ মিটার কমলে ক্ষেত্রফল কমে (২০ মিটার × ৪ মিটার ) = ৮০ বর্গমিটার

ক্ষেত্রফল ৮০ বর্গমিটার কমার জন্য খরচ কমে (৭৫০০ – ৬০০০) টাকা = ১৫০০ টাকা

১৫০০ টাকা খরচ হয় ৮০ বর্গমিটারে

১ টাকা খরচ হয় ৮০/১৫০০ বর্গমিটারে

৭৫০০ টাকা খরচ হয় (৮০ × ৭৫০০)/১৫০০ বর্গমিটারে বা ৪০০ বর্গমিটারে

অতএব, কামরার ক্ষেত্রফল ৪০০ বর্গমিটার।

কামরাটির প্রস্থ = ক্ষেত্রফল/দৈর্ঘ্য

800/২০ মিটার

= ২০ মিটার

:: কামরাটির প্রস্থ ২০ মিটার ।

উদাহরণ ১৪ ।

একটি ঘরের মেঝের দৈর্ঘ্য ৪ মিটার এবং প্রস্থ ৩.৫ মিটার । ঘরটির উচ্চতা ৩ মিটার এবং এর দেওয়ালগুলো ১৫ সে. মি. পুরু হলে, চার দেওয়ালের আয়তন কত ?

 

 

সমাধান :

দেওয়ালের পুরুত্ব ১৫ সে.মি. = ১৫/১০০ = ০.১৫ মিটার

চিত্রানুসারে, দৈর্ঘ্যের দিকে ২টি দেওয়ালের ঘনফল = ( ৪ + ২ × ০.১৫) × ৩ × ০.১৫ × ২ ঘনমিটার = ৪.৩ × ৩ × ০.১৫ × ২ ঘন মিটার = ৩.৮৭ ঘনমিটার

এবং প্রস্থের দিকে ২টি দেওয়ালের আয়তন = ৩.৫ × ৩ × 0.১৫ × ২ ঘনমিটার = ৩.১৫ ঘনমিটার

দেওয়ালগুলোর মোট আয়তন = (৩.৮৭ + ৩.১৫) ঘনমিটার = ৭.০২ ঘনমিটার

.:. নির্ণেয় আয়তন ৭.০২ ঘনমিটার ।

উদাহরণ ১৫।

একটি ঘরের ৩টি দরজা এবং ৬টি জানালা আছে । প্রত্যেকটি দরজা ২ মিটার লম্বা এবং ১.২৫ মিটার চওড়া, প্রত্যেক জানালা ১.২৫ মিটার লম্বা এবং ১ মিটার চওড়া । ঐ ঘরের দরজা জানালা তৈরি করতে ৫ মিটার লম্বা ও ০.৬০ মিটার চওড়া কয়টি তক্তার প্রয়োজন ?

সমাধান :

৩টি দরজার ক্ষেত্রফল = (২ × ১.২৫) × ৩ বর্গমিটার = ৭.৫ বর্গমিটার

৬টি জানালার ক্ষেত্রফল = (১.২৫ × ১ ) × ৬ বর্গমিটার = ৭.৫ বর্গমিটার

দরজা ও জানালার মোট ক্ষেত্রফল = (৭.৫ + ৭.৫) বর্গমিটার = ১৫ বর্গমিটার

একটি তক্তার ক্ষেত্রফল = (৫ × ০.৬) বর্গমিটার = ৩ বর্গমিটার

নির্ণেয় তক্তার সংখ্যা = দরজা ও জানালার মোট ক্ষেত্রফল ÷ তক্তার ক্ষেত্রফল

= (১৫ ÷ ৩) টি

= ৫ টি

উদাহরণ ১৬ ।

একটি আয়তাকার লোহার টুকরার দৈর্ঘ্য ৮.৮ সে. মি, প্রস্থ ৬ সে.মি ও উচ্চতা ২.৫ সে. মি. । লোহার টুকরাটিকে ১৫ সে.মি. দৈর্ঘ্য, ৬.৫ সে.মি. প্রস্থ ও ৪ সে.মি. উচ্চতার আয়তাকার পাত্রে রেখে পানি দ্বারা পূর্ণ করা হল । লোহা পানির তুলনায় ৭.৫ গুণ ভারী ।

ক. পানির পাত্রের আয়তন নির্ণয় কর ।

খ. লোহার টুকরার ওজন নির্ণয় কর ।

গ. পাত্রটিপানি পূর্ণ অবস্থায় লোহার টুকরাটি তুলে আনা হলে, পাত্রের পানির উচ্চতা কত হবে?

 

 

সমাধান :

(ক) পানির পাত্রটির দৈর্ঘ্য ১৫ সে.মি.

প্রস্থ ৬.৫ সে.মি.

এবং উচ্চতা ৪ সে.মি.

পানির পাত্রটির আয়তন = ( ১৫ × ৬.৫ × ৪) ঘন সে.মি. = ৩৯০ ঘন সে.মি.

(খ) লোহার টুকরাটির দৈর্ঘ্য ৮.৮ সে.মি.

প্রস্থ ৬ সে.মি.

এবং উচ্চতা ২.৫ সে.মি.

লোহার টুকরাটির আয়তন = (৮.৮ × ৬ × ২.৫)

= ১৩২ ঘন সে.মি.

আমরা জানি,

১ ঘন সে.মি. পানির ওজন ১ গ্রাম

এবং দেয়া আছে লোহা পানির তুলনায় ৭.৫ গুন ভারী

১ ঘন সে.মি. লোহার ওজন (১×৭.৫) গ্রাম

:: ১৩২ ঘন সে.মি. লোহার ওজন (৭.৫ x ১৩২) গ্রাম = ৯৯০ গ্রাম

লোহার টুকরাটির ওজন ৯৯০ গ্রাম

(গ) পানির পাত্রের আয়তন ৩৯০ ঘন সে.মি.

লোহার টুকরাটির আয়তন ১৩২ ঘন সে.মি.

.: লোহার টুকরাসহ পানিপূর্ণ পাত্র থেকে লোহার টুকরাটিকে তুলে আনা হলে পাত্রের অবশিষ্ট পানির আয়তন

= (৩৯০-১৩২) ঘন সে.মি. = ২৫৮ ঘন সে.মি.

পাত্রের অবশিষ্ট পানির উচ্চতা x সে.মি. হলে
x × ১৫ × ৬.৫ = ২৫৮

বা x =২৫৮/(১৫ × ৬.৫)

= ২৫৮/১৭.৫

= ২.৬৫ (প্রায়)

পাত্রের অবশিষ্ট পানির উচ্চতা ২.৬৫ সে.মি. (প্রায়)

আরও দেখুনঃ

• মেট্রিক পদ্ধতিতে পরিমাপ