আজকে আমাদের আলোচনার বিষয়ঃ গাণিতিক উক্তির প্রমাণ। এটি নবম – দশম শ্রেনী গণিতের রেখা, কোণ ও ত্রিভুজ এর অন্তর্গত।
গাণিতিক উক্তির প্রমাণ ( Proof of Mathematical Statements)
যেকোনো গাণিতিক তত্ত্বে কতিপয় প্রাথমিক ধারণা, সংজ্ঞা এবং স্বীকার্যের উপর ভিত্তি করে ধাপে ধাপে ঐ তত্ত্ব সম্পর্কিত বিভিন্ন উক্তি যৌক্তিকভাবে প্রমাণ করা হয়। এরূপ উক্তিকে সাধারণত প্রতিজ্ঞা বলা হয়।
প্রতিজ্ঞার যৌক্তিকতা প্রমাণের জন্য যুক্তিবিদ্যার কিছু নিয়ম প্রয়োগ করা হয়। যেমন:
১. আরোহ পদ্ধতি (Mathematical Induction)
২. অবরোহ পদ্ধতি ((Mathematical Deduction)
৩. বিরোধ পদ্ধতি (Proof by contradiction) ইত্যাদি।
আরোহ পদ্ধতি (Mathematical Induction)
আরোহ পদ্ধতির কাজ হলো কতকগুলো নির্দিষ্ট সত্য থেকে সাধারণ সত্যে উপনীত হওয়া। এই পদ্ধতিতে যে ধরনের যুক্তির ব্যবহার হয় তাদেরকে আরোহ যুক্তি বলা হয়। আরোহ পদ্ধতির ঠিক উল্টো হচ্ছে অবরোহ পদ্ধতি, এরা একে অপরের পরিপূরক।
অবরোহ পদ্ধতি ((Mathematical Deduction)
অবরোহ পদ্ধতির মূল লক্ষ্য হলো সাধারণ সত্য থেকে বিশেষ সত্যকে উদ্ধার করতে পারা। এই পদ্ধতিতে যে ধরনের যুক্তি প্রয়োগ করা হয় তাদেরকে অবরোহ যুক্তি বলা হয়। আরোহ যুক্তির সাহায্যে যে সাধারণ সত্য অর্জিত হয় তার উপর ভিত্তি করে বিশেষ সিদ্ধান্তে উপনীত হতে পারাই অবরোহ যুক্তির কাজ। মোট কথা হচ্ছে, অবরোহ পদ্ধতিতে সমস্যা সমাধানের অর্থ হলো আরোহ পদ্ধতির চেয়ে সমস্যার আরও গভীরে প্রবেশ করে সিদ্ধান্ত গ্রহণ।
বিরোধ পদ্ধতি (Proof by contradiction)
দার্শনিক এরিস্টটল যুক্তিমূলক প্রমাণের এ পদ্ধতিটির সূচনা করেন। এ পদ্ধতির ভিত্তি হলো:
১. একই গুণকে একই সময় স্বীকার ও অস্বীকার করা যায় না।
২. একই জিনিসের দুইটি পরস্পরবিরোধী গুণ থাকতে পারে না।
৩. যা পরস্পরবিরোধী তা অচিন্ত্যনীয়।
৪. কোনো বস্তু এক সময়ে যে গুণের অধিকারী হয়, সেই বস্তু সেই একই সময়ে সেই গুণের অনধিকারী হতে পারে না।