আজকে আমাদের আলোচনার বিষয়ঃ ঘনফলের সূত্রাবলি ও অনুসিদ্ধান্ত । এটি অষ্টম শ্রেনী গণিতের বীজগণিতীয় সূত্রাবলি ও প্রয়োগের অন্তর্গত।
ঘনফলের সূত্রাবলি ও অনুসিদ্ধান্ত
সূত্র ৫।
(a+b)³ = a³ +3a²b+3ab² + b³
= a³ + b³ + 3ab(a + b) = a³+b³.
প্রমাণ :
(a + b)³ = (a + b)(a + b)²
= (a+b)(a² +2ab+b²)
= a(a²+2ab+b²)+b(a² +2ab+b²)
= a³+2ab+ab² + (a²b+2ab² + b³)
= a³+3a²b+3ab² + b³
= a + 3ab(a + b) + b³
= a³+b³ +3ab(a+b)
অনুসিদ্ধান্ত ৭।
a³ + b² = (a + b)³ — 3ab(a + b)
সূত্র ৬।
(a – b)³ = a³-3a²b+3ab² – b³
= a³-b³-3ab(a – b)
প্রমাণ :
(a−b)³ = (a – b)(a – b)²
= (a – b)(a² – 2ab+b²)
= a(a² – 2ab+b²) – b(a² – 2ab+b²)
= a³-3a²b+3ab² – b³
= a³ – 2ab+ ab² – a²b+2ab² – b³
= a³-b³-3ab(a – b)
অনুসিদ্ধান্ত ৮।
a³-b³ = (a – b)³ + 3ab(a – b)
উদাহরণ ১৬।
3x + 2y এর ঘন নির্ণয় কর ।
সমাধান :
(3x+2y)3
= (3x)3 + 3x (3x)² × (2y) + 3 × (3x) × (2y)² + (2y)³
=27×3+3 × 9×2 × 2y + 3 x 3x x 4y²+8³
=27×3+54x2y+36xy²+8y3
উদাহরণ ১৭।
2a + 5b এর ঘন নির্ণয় কর ।
সমাধান :
(2a +56)³
= (2a)³ + 3 × (2a)² × (5b) + 3 × (2a) × (5b)²+(5b)³
=8a3+3 × 4a² × 5b + 3 x 2a x 25b2+1256³
= 8a³+60a2b+150ab² + 125b³
উদাহরণ ১৮।
m – 2n এর ঘন নির্ণয় কর ৷
সমাধান :
(m – 2n)3
= (m)³ − 3 × (m)² × (2n) + 3 × m × (2n)² − (2n)³
= m³ – 3m² × 2n + 3m x 4n² – 8n³
= m³ – 6m²³n + 12mn²- 8n³
উদাহরণ ১৯।
4x – 5y এর ঘন নির্ণয় কর ।
সমাধান :
(4x-5)3
= (4x)³-3 × (4x)² × (5y) + 3 × (4x) × (5y)² – (5y)³
=64x³-3 × 16×2 x 5y + 3 x 4x x 25y2-125y3
=64x³-240x2y+300xy²-125y³
উদাহরণ ২০।
x + y − z এর ঘন নির্ণয় কর ।
সমাধান :
(x+y=z)³ = {(x + y) − z}³
= (x + y)³-3(x+y)² x z + 3(x+y) × 22-z³
= (x²+3x²y + 3xy²+ y³) − 3(x² + 2xy + y²) × z + 3(x + y) × z² – z³
= x²+3x²y + 3xy²+ y³-3x²z – 6xyz – 3y²z + 3xz² + 3yz² – z³
= x²+y³ −z³+3x²y + 3xy² – 3x²z-3y²z + 3xz² + 3yz²-6xyz
উদাহরণ ২১। সরল কর :
(4m+2n)³ + 3(4m + 2n)² (m − 2n) + 3(4m + 2n)(m − 2n)² + (m −2n)³
সমাধান :
ধরি, 4m + 2n = a এবং m – 2n = b
প্রদত্ত রাশি = a³+3a2b+3ab2+b³
= (a+b)3
= {(4m+2n) + (m-2n)}3
= (4m+2n+m-2n)3
= (5m)3 = 125m³
উদাহরণ ২২। সরল কর :
(4a-8b)3-(3a-9b)³ – 3(a + b)(4a – 8b)(3a – 9b)
সমাধান :
ধরি, 4a-8b = x এবং 3a-9b=y
x-y=(4a-8b) – (3a-9b) = 4a-8b-3a + 9b = a+b
এখন প্রদত্ত রাশি =x – y – 3 (x – y) × x × y
=x³-y³-3xy(x-y)
= (x-y)3
= (a+b)3
উদাহরণ ২৩।
a + b = 3 এবং ab = 2 হলে, a3 + b3 এর মান নির্ণয় কর ।
সমাধান :
a + b3 = (a + b) 3 – 3ab (a + b)
= ( 3 ) 3 – 3 x 2 x 3 [মান বসিয়ে
=27-18
= 9
বিকল্প সমাধান:
দেওয়া আছে, a + b = 3 এবং ab = 2
এখন, a + b = 3
বা, (a + b) 3 = (3) [উভয়পক্ষকে ঘন করে]
বা, a + b3 + 3ab (a + b) = 27
বা, a + b3 + 3 × 2 × 3 = 27
বা, a + b3 + 18 = 27
বা, a + b3 = 27 – 18
:. a³ + b³=9
উদাহরণ ২৪।
x-y= 10 এবং xy= 30 হলে, x – y এর মান নির্ণয় কর ।
সমাধান :
x – y = (x – y)3 + 3xy(x – y)
= (10)3 + 3 × 30 × 10
= 1000 + 900
= 1900
উদাহরণ ২৫।
x+y= 4 হলে, x³ + y³ + 12xy এর মান কত ?
সমাধান :
x³+ y³+12xy=x³+y³+3×4×xy
=x³+y³+3(x+y) ×xy
=x³+y³+3xy(x+y)
= (x + y)³
=(4)3
= 64.
উদাহরণ ২৬।
a+1/a =7 হলে , a³ +1/a³ এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান :
a³ +1/a³ = a³ +(1/a)³
= (a + (1/a)² – 3× a× = (a+1/a)
=(7)³-3×7 [a+1/a= 7]
= 343-21
= 322
উদাহরণ ২৭।
m=2 হলে, 27m3 + 54m2 + 36m+3 এর মান নির্ণয় কর ।
সমাধান :
প্রদত্ত রাশি = 27m3 + 54m 2 + 36m + 3
=(3m)³+3× (3m)2×2+3× (3m) × (2)² +(2)³-5
= (3m+2)³-5
=(3×2+2)³-5 [m এর মান বসিয়ে ]
=(6+2)³-5
= 8³-5
=512-5 = 507
ঘনফলের সাথে সম্পৃক্ত আরও দুইটি সূত্র
সূত্র ৭।
a³+b³ = (a+b)(a² – ab+b²)
প্রমাণ :
a³+b³=(a+b)3-3ab(a+b)
=(a+b)((a+b)2-3ab}
=(a+b)(a²+2ab+b² – 3ab)
=(a+b)(a²-ab+b²)
বিপরীতভাবে,
(a+b)(a² – ab+b²)
= a(a²-ab+b²)+b(a² – ab+b²)
=a3-a²b+ab²+a2b-ab²+b³
=a³+b³
(a+b)(a²-ab+b²) = a³+b³
সূত্র ৮।
a³-b³ = (a – b)(a²+ab+b²)
প্রমাণ :
a³-b³ (a – b)³ +3ab(a – b)
=(a−b) {(a – b)²+3ab}
=(a-b)(a²-2ab+b²+3ab)
=(a−b)(a²+ab+b²)
বিপরীতভাবে,
(a-b)(a²+ab+b²)
= a(a²+ab+b²)-b(a²+ab+b²)
= a³+ab+ab²-a2b-ab²-b3
= a³-b3
(a-b)(a²+ab+b²)
= a³-b³
উদাহরণ ২৮।
সূত্রের সাহায্যে (x2 + 2) ও (x – 2×2 + 4) এর গুণফল নির্ণয় কর ।
সমাধান :
(x2 +2)(x – 2×2 + 4)
=(x²+2){(x²)² − x² x2+22}
=(x2)3+(2)3
=x6 +8
উদাহরণ ২৯।
সূত্রের সাহায্যে ( 4a – 5b ) ও ( 16a2 + 20ab + 25b 2 ) এর গুণফল নির্ণয় কর ।
সমাধান :
(4a-5b)(16a² +20ab+2562)
=(4a-5b){(4a)²+4ax5b+(5b)²}
= (4a)³ – (5b)³
= 64a³-125b³