আজকে আমাদের আলোচনার বিষয়ঃ ঘন সংবলিত সূত্রাবলি। এটি নবম – দশম শ্রেনী গণিতের বীজগাণিতিক রাশি এর অন্তর্গত।
ঘন সংবলিত সূত্রাবলি
সূত্র ৬
(a+b)³ = a³ +3a²b+3ab² + b³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)
প্রমান : (a+b)3 = (a+b)(a+b)²
= (a+b)(a²+2ab+b²)
= a(a²+2ab+b²)+b(a²+2ab+b²)
= a³+2a2b+ab² + a2b+2ab² + b³
=a3+3a2b+3ab2+b3
=a3+b3+3ab(a+b)
অনুসিদ্ধান্ত ৯ .
a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b)
সূত্র ৭.
(a – b)³ = a³ – 3a²b+3ab² – b³ = a³ — b³ — 3ab(a – b)
প্রমান : (ab)3 = (a – b)(a – b)²
=(ab)(a² 2ab+b²)
= a(a² – 2ab+b²) – b(a² – 2ab+b²)
= a³ – 2a²b+ab² – a²b+2ab2 – b³
=a3-3a2b+3ab2 – 63
= -a3b3-3ab(a – b)
দ্রষ্টব্য :
সূত্র ৬ এ b এর স্থলে –b বসালে সূত্র ৭ পাওয়া যায়:
{a +(-b)}³ = a³ + (−b)³ + 3a(−b){a + (−b)}
অর্থাৎ, (a – b)3 = a³-b3-3ab(a – b)
অনুসিদ্ধান্ত ১০.
a3 – b3 = (a – b) 3 + 3ab (a – b)
সূত্র ৮.
a³+b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
প্রমান :
a³ +b3 = (a+b)3-3ab(a+b)
= (a+b){(a + b)² – 3ab}
= (a+b)(a²+2ab+b² – 3ab)
= (a+b)(a² — ab+b²)
সূত্র ৯.
a³-b³ (a – b)(a² +ab+b²)
প্রমান :
a³-b³ (a – b)3 + 3ab(a – b)
= (a – b) {(a – b)²+3ab}
= (a – b)(a² – 2ab+b²+3ab)
= (a – b) (a² + ab +b²)
উদাহরণ ১২
2x + 3y এর ঘন নির্ণয় কর।
সমাধান:
( 2x + 3y)3
= (2x)³ + 3(2x)² · 3y+3·2x(3y)² + (3y)³
=8×3+3·4×2·3y+3·2x9y²+2773
=8×3+36x2y+54xy²+27y3
উদাহরণ ১৩.
2x – y এর ঘন নির্ণয় কর।
সমাধান:
( 2x – y ) 3
= (2x)³ — 3(2x)² · y +3.2x·y2 – y3
= 8×3-3.4x2y+3.2x·y2-y³
= 8×3 12x²y+6xy2-y³
উদাহরণ ১৪.
x = 37 হলে, 8×3 + 72×2 + 216x + 216 এর মান কত?
সমাধান:
8×3 + 72×2 + 216x + 216
= (2x)³+3·(2x)2·6+3·2x· (6)2 + (6)3 =
= ( 2x + 6 ) 3 = ( 2 x 37 + 6) 3 [মান বসিয়ে ]
= (74+6)³ (80)3 = 512000
উদাহরণ ১৫.
যদি x – y = 8 এবং xy= 5 হয়, তবে x3 – y + 8 (x + y) 2 এর মান কত?
সমাধান:
x – y + 8 (x + y) 2
= (x − y)³ + 3xy(x − y) + 8{(x − y)² + 4xy}
= ( 8 ) 3 + 3 x 5 x 8 + 8 (82 + 4x 5) [মান বসিয়ে]
= 83+15 x 8+8(8² + 4 × 5)
= 83+15×8 +8 x 84
= 8(8² + 15 +84) = 8(64+ 15 +84)
= 8 x 163
= 1304
উদাহরণ ১৬.
যদি a = √3 + √2 হয়, তবে প্রমাণ কর যে, a + a3 = 18√3
সমাধান:
দেওয়া আছে, a = √3+ √2
1/a = 1/( √3+ √2
= (√3-√2)/ (√3+ √2)(√3 −√2) [লব ও হরকে (√3 – √2) দ্বারা গুণ করে]
= (√3-√2)/(√3)2- (√2)2
= (√3-√2)/(3-2) =
a+ 1/a = (√3 + √2) + (√3 − √2)
= √3 + √2 +√3-√2 = 2√3
এখন, a3 + 1/a3 = (a+ 1/a)3 -3.a.1/a(a+ 1/a)
= (2√3)3 – 3(2√3) [a+1/a =2√3]
= 23. (√3)3-3 x 2√3
=8.3√3-6√3
=24√3-6√3
= 18√3
উদাহরণ ১৭.
x + y = 5, xy = 6 হলে এবং x > y হলে
ক) 2 (x2 + y2) এর মান নির্ণয় কর।
খ) x3 – y3 – 3 (x2 + y2) এর মান নির্ণয় কর ।
গ) x5 + y5 এর মান নির্ণয় কর ।
সমাধান :
ক) আমরা জানি, 2(x2 + y2) = 2{(x + y) 2 – 2xy }
=2(522.6) 2 x 13 = 26
2(x²+ y²) = 26
খ) দেওয়া আছে x + y = 5 এবং xy= 6, x > y
:. x – y = √(x + y) 2 – 4xy (প্রদত্ত শর্ত মোতাবেক ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়)
= √(52-4.6) = √(25 – 24) = √1 = 1
x³-y³-3(x² + y²) 3
= (x − y)³ + 3xy(x − y) – 3/2· 2(x² + y²)
= 13+3.6.1- 3/2. 26
= 1 + 18-39
= -20
x³- y³ – 3(x² + y²) = -20
গ) x+y=5 এবং x – y = 1
যোগ করে, 2x = 6
x = 6/2 = 3
বিয়োগ করে, 2y = 4
y = 4/2 = 2
x5 +y5 = 35+25=243 +32= 275
আরও দেখুনঃ