চতুর্ভুজ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

আজকে আমরা চতুর্ভুজ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সম্পর্কে  আলোচনা করবো  । যা উচ্চতর গণিতের  স্থানাঙ্ক জ্যামিতি অংশের অন্তর্গত।

 

 

চতুর্ভুজ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

নিচের চিত্রে ABCD একটি চতুর্ভুজ। চতুর্ভুজটির চারটি শীর্ষ যথাক্রমে A (x1,y1), B (x2, y2), C(x3,y3), D(x4, y4) এবং A, B, C, D কে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিক অনুসারে নেওয়া হয়েছে।

 

 

এখন চতুর্ভুজক্ষেত্র ABCD এর ক্ষেত্রফল =  ত্রিভুজক্ষেত্র ABC এর ক্ষেত্রফল + ত্রিভুজক্ষেত্র ACD এর ক্ষেত্রফল

 

 

অনুরূপভাবে একটি পঞ্চভুজ ABCDE (নিচের চিত্র) এর শীর্ষবিন্দুগুলো যদি A ( 21, Y1 ), B( 22, 42), C ( 23, 43 ), D ( 4,94) ও E (25, 45 ) হয় এবং চিত্রের মত শীর্ষগুলো যদি ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে হয়, তবে পঞ্চভুজ ABCDE এর ক্ষেত্রফল তিনটি ত্রিভুজ ক্ষেত্র ABC, ACD ও ADE এর ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।

ত্রিভুজক্ষেত্র ও চতুর্ভুজক্ষেত্রের ঠিক অনুরূপভাবে পঞ্চভুজক্ষেত্র ABCDE এর ক্ষেত্রফল

 

একইভাবে যেকোনো বহুভুজের শীর্ষবিন্দুসমূহের স্থানাঙ্ক জানা থাকলে সহজেই উপরোক্ত পদ্ধতিতে ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যায়।

 

 

উদাহরণ ১৪.

A(1, 4), B(-4, 3), C (1, 2) এবং D(4,0) শীর্ষবিশিষ্ট চতুর্ভুজক্ষেত্র ABCD – এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান:

বিন্দুসমূহকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে নিয়ে চতুর্ভুজক্ষেত্র ABCD এর ক্ষেত্রফল

= 1/2 ∣ 1  -4   1    4   1 ∣ বর্গ একক

∣ 4   3  -2   0    4 ∣

= 1/2( 3 + 8+0 + 16 + 16 – 3 + 8 – 0) বর্গ একক

= 1/2 (48) বর্গ একক

= 24 বর্গ একক

 

 

অনুশীলনী

১. A ( 2,0), B(5,0) এবং C (1, 4) যথাক্রমে AABC এর শীর্ষ বিন্দু।

ক) AB, BC, CA বাহুর দৈর্ঘ্য এবং AABC এর পরিসীমা নির্ণয় কর।

খ) ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

২. নিম্নোক্ত প্রতিক্ষেত্রে ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর:

ক) A (2, 3), B( 5, 6) এবং C(–1, 4)

খ) A ( 5, 2), B (1, 6) এবং C (-2, – 3)

৩. দেখাও যে, A(1, 1 ), B( 4, 4), C ( 4, 8 ) এবং D (1, 5 ) বিন্দুগুলো একটি সামান্তরিকের শীর্ষ বিন্দু। AC ও BD কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল ত্রিভুজের মাধ্যমে তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় কর।

8. A ( – a, 0 ), B (0, – a), C (a, 0 ) এবং D(0, a) শীর্ষবিশিষ্ট চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

 

 

৫. দেখাও যে, A(0 – 1 ), B( – 2, 3), C (6, 7 ) এবং D (8, 3 ) বিন্দুগুলো একটি আয়তক্ষেত্রের চারটি শীর্ষ। কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য এবং আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

৬. তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক A ( – 2, 1 ), B ( 10, 6 ) এবং C (a, 6 ) AB BC হলে a এর = সম্ভাব্য মানসমূহ নির্ণয় কর। a এর মানের সাহায্যে যে ত্রিভুজ গঠিত হয় এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

৭. A, B, C তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে A (a, a + 1 ), B (- 6, − 3 ) এবং C (5, – 1 ) । AB এর দৈর্ঘ্য AC এর দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ হলে a এর সম্ভাব্য মান এবং ABC ত্রিভুজটির বৈশিষ্ট্য বর্ণনা কর।

৮. নিম্নোক্ত চতুর্ভুজসমূহের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর [পদ্ধতি ২ ব্যবহার কর]:
ক) (0,0), (-2,4), (6,4), (4, 1)

খ) (0,1), (-3,-3), (4,3), (5, 1)

গ) (1,4), (-4,3), (1,2), (4, 0)

৯. দেখাও যে, A(2, 3), B ( 3, -1 ), C (20), D ( – 1, 1 ) এবং E (−2, − 1 ) শীর্ষবিশিষ্ট – বহুভুজের ক্ষেত্রফল 11 বর্গ একক।

১০. একটি চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষ A (3, 4), B( – 4, 2), C (6, − 1 ) এবং D(p,3) এবং শীর্ষসমূহ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত। ABCD চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ হলে p এর মান নির্ণয় কর।

আরও দেখুনঃ

• সূচকীয়, লগারিদমীয় ও পরমমান ফাংশন