দুই চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ জোট

আজকে আমরা দুই চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ জোট সম্পর্কে  আলোচনা করবো । যা উচ্চতর গণিতের সমীকরণ অংশের অন্তর্গত।

 

 

দুই চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ জোট

দুই চলকবিশিষ্ট দুইটি একঘাত সমীকরণ অথবা একটি একঘাত ও একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমন্বয়ে গঠিত জোটের সমাধান নির্ণয় পদ্ধতি নবম-দশম শ্রেণির গণিত বইয়ে আলোচনা করা হয়েছে। এখানে এরূপ দুইটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমন্বয়ে গঠিত কতিপয় জোটের সমাধান নির্ণয় আলোচনা করা হলো।

উল্লেখ্য যে, চলক দুইটি x ও y হলে (x, y) = (a, b) এরূপ আকারে জোটের একটি সমাধান যদি সমীকরণ দুইটিতে x এর স্থলে a এবং y এর স্থলে b বসালে তাদের উভয় পক্ষ সমান হয়।

উদাহরণ ১৯.

সমাধান কর: x + 1 /y = 3/2,  y+1/x = 3

সমাধান:

x + 1 /y = 3/2 …………… (1)

y+1/x = 3 ………………(2)

(1) থেকে xy + 1 = 3/2y … (3)

(2) থেকে, xy + 1 = 3x … ..(4)

(3) ও (4) থেকে 13/2y = 3x বা, y = 2x… (5)

(5) থেকে y এর মান ( 4) এ বসিয়ে পাই,

2×2 + 1 = 3x বা, 2×2 – 3x + 1 = 0

বা, (x – 1) (2x – 1) = 0

:. x = 1 অথবা 1/2

(5) থেকে যখন x = 1, তখন y = 2 এবং যখন x = 1/2 তখন y = 1

.:. নির্ণেয় সমাধান (x,y) = (1, 2), (1/2,1)

 

 

 

উদাহরণ ২০.

সমাধান কর: x2 = 3x + 6y, xy = 5x + 4y

সমাধান:

x2 = 3x + 6y…………… (1)

xy = 5x + 4y………………. (2)

(1) থেকে (2) বিয়োগ করে, x(x – y ) = -2 (x – y)

বা, x(x − y) + 2(x − y) = 0

বা, (x – y) (x + 2) = 0

x = y… (3)

বা, x = -2… (4)

(3) ও (1) থেকে আমরা পাই, y2 = 9y বা, 2(y – 9 ) = 0 y = 0 অথবা 9

(3) থেকে, যখন y = 0 তখন x = 0 এবং যখন y = 9, তখন x = 9

আবার (4) ও (1) থেকে আমরা পাই, x = − 2 এবং 4 = -6+6y বা, 6y = 10 বা, y = 5/3

.:. নির্ণেয় সমাধান (x,y) = (0,0, (9,9 ), ( -2,5/3)

উদাহরণ ২১

সমাধান কর: x2 + y2 = 61, xy= -30

সমাধান:

a2 + y2 = 61 ….. (1)
xy= -30  …………(2)

(2) কে 2 দ্বারা গুণ করে (1) থেকে বিয়োগ করলে আমরা পাই, (x – y)2 = 121

বা, (x – y) = ±11

(2) কে 2 দ্বারা গুণ করে (1) এর সাথে যোগ করলে পাই, (x + y)2 = 1

x+y=±1 …………….(4)

(3) ও (4) থেকে,
x+y=1 ,x–y=11   …………………. (5)

x+y=1 , x–y=-11  …………………(6)

x+y=-1 ,x–y=11  ………………….(7)

x+y=-1 ,x–y=-11 …………………(8)

সমাধান করে পাই,

(5) থেকে, x=6, y=-5

(6) থেকে, x = −5, y=6

(7) থেকে, x = 5,y=-6

(8) থেকে=-6, y = 5

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (6, -5 ), ( – 5, 6 ), ( 5, -6 ), ( -6, 5 )

 

 

উদাহরণ ২২.

সমাধান কর: x2 – 2xy + 8y2 = 8, 3xy – 2y2 = 4

সমাধান

x2 – 2xy + 8y2 = 8  …………… (1)

3xy – 2y2 = 4 …………………..(2)

(1) এবং (2) থেকে আমরা পাই,

বা, (x2-2xy +8y2)/(3xy – 2y2)= 2/1

বা, x²-2xy +8y² = 6xy-4y²

বা, x² – 8xy + 12y² = 0

বা, x²-6xy-2xy + 12y² = 0

বা,(x-6y)(x-2y) = 0

x=6y …………..(3), x=2y …………..(4)

(3) থেকে x এর মান (2) এ বসিয়ে আমরা পাই,

3.6y.y-2y² = 4

বা, 16y² = 4

বা, y² = 1/4

বা, y= ±1/2

(3) থেকে, x = 6× (±1/2)= ±3

আবার (4) থেকে x এর মান (2) এ বসিয়ে আমরা পাই,

3.2y-y-2y2 = 4

বা, 4y² = 4

বা, y² = 1

বা, y = ±1

(4) থেকে x = 2 × (+1) = +2

.:. নির্ণেয় সমাধান (x,y) = (3, 1/2), (-3, -1/2), (2, 1), (−2, −1)

 

 

উদাহরণ ২৩.

সমাধান কর: (x + y)/(x − y) + (x − y)/(x + y) = 5/2 ,x² + y² = 90

সমাধান :

(x + y)/(x − y) + (x − y)/(x + y) = 5/2 ……………(1)

x² + y² = 90  …………………………. (2)

(1) থেকে আমরা পাই,

(x + y)² + (x − y)² /(x + y)(x − y) = 5/2

বা, 2(x² + y²) /x² – y2 = 5/2

বা, 2 x 90/ x² – y2 = 5/2 [(2) থেকে x2 + y2 = 90 বসিয়ে ]

x² – y2 = 72 ……………(3)

(2) + (3) নিলে, 2×2 = 162 বা, x2 = 81 বা, x = ±9

এবং (2) – (3) নিলে, 2y2 = 18 বা, y2 = 9 বা, y = ±3

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = ( 9, 3), ( 9,-3), (- 9, 3), ( – 9, − 3 )

অনুশীলনী

সমাধান কর :

১. (2x+3)(y-1) = 14, (x-3) (y-2) = -1

২. (x-2)(y-1) = 3, (x+2) (2y-5) = 15

৩. x²=7x+6y, y² = 7y+6x

৪. x2=3x+2y, y² = 3y+2x

৫. x +4/y= 1, y+4/x=25

৬ . y+3=4/x, x-4= 5/3y

৭. xy-x² = 1, y2-xy=2

৮. x2-xy 14, y²+xy = 60

৯. x²+ y² = 25, xy = 12

১০. (x + y)/(x − y)+ (x − y)/(x + y) = 10 / 3, x² – y² = 3

১১. x² + xy + y² = 3, x² – xy + y² = 7

১২. 2x² + 3xy + y² = 20, 5x²+4y² = 41