দ্বিপদী উপপাদ্য

আজকে আমরা  আলোচনা করবো  দ্বিপদী উপপাদ্য। যা উচ্চতর গণিতের  দ্বিপদী বিস্তৃতি অংশের অন্তর্গত।

 

 

দ্বিপদী উপপাদ্য

আমরা এ পর্যন্ত (1 + y)n এর বিস্তৃতি নিয়ে আলোচনা করেছি। এই পর্যায়ে আমরা দ্বিপদী বিস্তৃতির সাধারণ আকার (x + y)n নিয়ে আলোচনা করব যেখানে n ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। (x + y)n এর বিস্তৃতি সাধারণভাবে দ্বিপদী উপপাদ্য নামে পরিচিত।

আমরা জানি,

 

 

 

 

এটিই হচ্ছে দ্বিপদী উপপাদ্যের সাধারণ আকার। লক্ষণীয় এই বিস্তৃতি (1 + y)n এর অনুরূপ। এখানে x এর ঘাত n থেকে 0 পর্যন্ত যোগ করা হয়েছে। আরো লক্ষণীয়, প্রতি পদে x ও y এর ঘাতের যোগফল দ্বিপদীর ঘাতের সমান। প্রথম পদে x এর ঘাত n থেকে শুরু হয়ে সর্বশেষ পদে শূন্য। ঠিক বিপরীতভাবে y এর ঘাত প্রথম পদে শূন্য থেকে শুরু হয়ে শেষ পদে n হয়েছে।

উদাহরণ ৫.

(x + y)5 কে বিস্তৃত কর এবং উহা হইতে (3 + 2x)5 এর বিস্তৃতি নির্ণয় কর।

সমাধান:

(x + y)² = x5 + (5  1)x4y + (5  2)x³y² + (5  3)x²y³ + (5  4)xy4 + y5

=  x5+ 5x4y + (5.4)/(1.2)x³y² + (5.4.3)/(1.2.3)x²y³ + (5.4.3.2)/(1.2.3.4)xy4 + y5

= x5+5x4y +10x³y²+10x²y³ + 5xy4 + y5

∴ নির্ণেয় বিস্তৃতি (x + y)² = x5+5x4y +10x³y²+10x²y³ + 5xy4 + y5

এখন x = 3 এবং y = 2x বসাই

(3+2x)5 = 3^5+5·3^4(2x) + 10^3³ (2x)² + 10^3² (2x)³ + 5·3(2x)4 + (2x)5

=243+ 810x + 1080x² + 720x³ + 240×4 + 32×5

(3+2x)5 = 243 +810x + 1080x² + 720x³ + 240x¹ + 32×5

উদাহরণ ৬.

(x + 1/ x2) 6 কে x এর ঘাতের অধঃক্রম অনুসারে চতুর্থ পদ পর্যন্ত বিস্তৃত কর এবং x মুক্ত পদটি শনাক্ত কর।

সমাধান:

দ্বিপদী উপপাদ্য অনুসারে পাই,

(x + 1/ x2) 6  =  x6+ (6   1)x5(1/x2) + (6  2)x4(1/x2)2 + (6  3)x³(1/x2)³ + ……

= x6+6×3+ (6.5 )/(1.2)x4(1/x4) + (6.5.4)/(1.2.3)x³(1/x6) + …..

= x6+6x³ +15+20(1/x³) + …..

∴  নির্ণেয় বিস্তৃতি x + 6×3 + 15 + 20(1/x³) + ….. এবং x মুক্ত পদ 15

 

 

উদাহরণ ৭.

x এর ঘাতের ঊর্ধ্বক্রম অনুসারে (2 – x/2)7 এর বিস্তৃতির প্রথম চারটি পদ নির্ণয় কর। উক্ত বিস্তৃতির সাহায্যে (1.995) 7 এর মান চার দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় কর।

সমাধান:

(2-x/2)7 = 2^7+(7   1)2^6 (-x/2)+(7  2)2^5(-x/2)²+(7  3)2^4 (-x/2)³+….. 3

= 128 +7.64(-x/2)+(7.6)/(1.2) .32(x²/4)+(7.6.5)/(1.2.3).16(-x³/8)+…

∴  (2-x/2)7 = 128 – 224x + 168x² – 70x³

.:. নির্ণেয় বিস্তৃতি (2 – x/2)7 = 128 – 224x + 168x² – 70x³ + ….

এখন, 2 = x/2 = 1.995 বা, x/2 = 2 – 1.995 সুতরাং x = 0.01

এখন x = 0.01 বসিয়ে পাই

(2-0.01/2) 7 = 128 – 224 × (0.01) + 168 x (0.01)2 – 70 × (0.01)³ + ··

বা, (1.995) 7 = 125.7767 (চার দশমিক স্থান পর্যন্ত)

নির্ণেয় মান (1.995)7 = 125.7767

 

 

n! এবং “C এর মান নির্ণয়

নিচের উদাহরণগুলো লক্ষ করি:

2 = 2 .1,  6 = 3.2.1,  24 = 4.3.2.1,  120 = 5.4.3.2.1, …..

ডানদিকের গুণফলসমূহকে আমরা এখন সংক্ষেপে একটি সাংকেতিক চিহ্নের মাধ্যমে প্রকাশ করতে পারি।

2= 2.1 2! , 6 = 3.2.1 = 3!,  24 = 4.3.2.1  = 4!,  120 = 5.4.3.2.1 = 5! …

এখন লক্ষ করি:

4! = 4.3.2.1 = 4. (4-1) · (4-2) · (4-3)

5! = 5.4.3.2.1 = 5.(5-1). (5-2). (5-3). (5-4)

∴ সাধারণভাবে লিখতে পারি, n! = n ( n − 1 ) (n – 2 ) ( n − 3 ) …3.2.1 এবং n! কে ফ্যাক্টোরিয়াল (Factorial) n বলা হয়। তদ্রুপ 3! কে ফ্যাক্টোরিয়াল তিন, 4! কে ফ্যাক্টোরিয়াল চার ইত্যাদি পড়া হয় ।

আবার লক্ষ করি:
(5  3) = (5.4.3)/( 1.2.3) = (5.4.3.2.1 )/(1.2-3).(2-1) = 5! /(3! x 2!) =  5! /(3! × (5-3)!

(7  4) = (7.6.5.4)/(1.2.3.4) = (7.6.5.4.3.2.1)/(1.2.3.4).(3.2.1) = 7! /4! x 3! = 7! /4! × (7-4)!

:: সাধারণভাবে আমরা বলতে পারি (n  r) = n! /r!(n − r)!

ডান পাশের ফ্যাক্টোরিয়ালসমূহকে যে প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয় তা হলো,

 

 

মনে রাখতে হবে

 

 

 

এখন দ্বিপদী উপপাদ্যতে আমরা (n  r) কে nCr দ্বারা প্রকাশ করব।

(1+y)n =1+ nC₁y + nC₂y²+ nCзy³ + ……+ nCryr + ……. +nCnyn ,

(1+ y)n = 1+ny + {n(n-1)/2!}y² + {n(n-1)(n-2)/3!}y³ + ……+yn

(1+ y)n = 1+ny + {n(n-1)/(1.2)}y² + {n(n-1)(n-2)/(1.2.3)}y³ + ……+yn

এবং অনুরূপভাবে,

(x + y)n = xn + nC₁x(n-¹) y + nC₂x(n−²)y² + nС3x(n-³)y³ + ··· + nСrx(n-r)yr

(x+y)n = xn+nx(n -1)y + {n(n – 1)/2!}nx(n -2)y² + {n(n – 1)(n-2)/3!} x(n -2)y³ + …..+ yn

(x+y)n = xn+nx(n -1)y + {n(n – 1)/(1.2)}nx(n -2)y² + {n(n – 1)(n-2)/(1.2.3)} x(n -2)y³ + …..+ yn

লক্ষণীয়:

ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n এর জন্য

উদাহরণ ৮.

(x-1/x2)5 কে বিস্তৃত কর।

সমাধান:

দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে

(x-1/x2)5 = x5+ 5C1x(5-1) (-1/x2) + 5C2x(5-2)(-1/x2)² + 5C3x(5-3) (-1/x2)³

=x5 – 5×4. 1/x4 + (5.4)/(1.2)x³(1/x4) – (5.4.3)/(1.2.3)x²(1/x6) + (5.4.3.2)/(1.2.3.4)x(1/x8) – 1/x10

= x5 – 5x² + 10/x – 10/x4 – 5/x7- 1/x10

 

 

উদাহরণ ৯.

( 2x² – 1/x² )8 এর বিস্তৃতির প্রথম চারটি পদ নির্ণয় কর।

সমাধান:

দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে,

( 2x² – 1/x² )8 =  (2x²)8  + 8C1(2x²)7 ( – 1/x²) + 8C2(2x²)6 (- 1/x²)² + 8C3(2x²)6(- 1/x²)³ + …..

= 28.×16 – 8.27.×14.(1/x2) + (8.7)/(1.2).26.×12.(1/x4) – (8.7.6)/(1.2.3).25.×10.(1/x6) + ….

= 256×16 – 1024×12 + 1792×8 – 1792×4 + ··

উদাহরণ ১০.

(k – x/3)7  বিস্তৃতির k³ এর সহগ 560

ক) k = 1 হলে, চতুর্থ পদ পর্যন্ত বিস্তৃত কর।

খ) এর মান নির্ণয় কর।

গ) রাশিটির বিস্তৃতিতে x3 এর সহগ x5 এর সহগের 15 গুণ হলে k এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান :

ক) k = 1 হলে, বীজগাণিতিক রাশিটি (1-x/3) ,

দ্বিপদী উপপাদ্য অনুসারে পাই,

(1 − x/3)7  =7C0 (-x/3)0 + 7C₁ (-x/3)1 + 7C₂ (-x/3)² + 7C3 (-x/3)3 + …….

=1-7. x/3 +( 7.6)/(1.2). x²/9 – ( 7.6.5)/(1.2.3). x³/27 + ….

= 1 – 7x/3+ 7x²/3 – 35x³/27  + ……..

 

 

খ) দ্বিপদী উপপাদ্য অনুসারে পাই,

(k − x/3)7 = k7 + 7C1k6 (-x/3) + 7C2k5 (-x/3)² + 7C3k4 (-x/3)³+ 7C4k3 (-x/3)4 + 7C5k2 (-x/3)5+ …………..

= k7 – 7k6. x/3 + (7.6)/(1.2)k5.x2/9 – (7.6.5)/(1.2.3)k4.x3/27 + (7.6.5.4)/(1.2.3.4)k3.x4/81 – (7.6.5.4.3)/(1.2.3.4.5)k2.x5/243 + …………

= k7 – 7x/3. k6 + 7×2/3.k5. – 35×3/27. k4 + 35×4/81. k3 – 7×5/81.k2 + …………

এখানে k³ এর সহগ 35×4 /81

শর্তমতে,

35×4/ 81 = 560

বা, x4 = (560 x 81)/35

বা, x4 = 1296

x = 6

গ) ঠিক উপরের (k − x/3)7 এর বিস্তৃতির ফলাফল থেকে পাই,

(k − x/3)7 = k7 – 7x/3. k6 + 7×2/35.k5 –  35×3/27. k4 +35×4/81. k3 – 7×5/81.k²  + …………

এখানে, x³ এর সহগ -35k4/27 এবং x5 এর সহগ -7k²/ 81

শর্তমতে, -35k4/27 = -7k2/81 × 15

k4/ k2 = (27 × 7 × 15)/ (35 ×81)

বা, k2 = 1

k=1

আরও দেখুনঃ

• বিভিন্ন কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ