আজকে আমাদের আলোচনার বিষয়ঃ ধারাবাহিক অনুপাত । এটি নবম – দশম শ্রেনী গণিতের বীজগাণিতিক অনুপাত ও সমানুপাত এর অন্তর্গত।
ধারাবাহিক অনুপাত
মনে কর, রনির আয় 1000 টাকা, সনির আয় 1500 টাকা এবং সামির আয় 2500 টাকা। এখানে, রনির আয় : সনির আয় = 1000 1500 2: 3; সনির আয় : সামির আয় = 1500 : 2500 = 3:51 ।সুতরাং রনির আয় : সনির আয় : সামির আয় = 2:3:5 ।
দুইটি অনুপাত যদি ক : খ এবং খ : গ আকারের হয়, তাহলে এদেরকে সাধারণত ক : খ : গ আকারে লেখা যায়। একে ধারাবাহিক অনুপাত বলা হয়। যেকোনো দুই বা ততোধিক অনুপাতকে এই আকারে প্রকাশ করা যায়। এখানে লক্ষণীয় যে, দুইটি অনুপাতকে ক : খ : গ আকারে প্রকাশ করতে হলে প্রথম অনুপাতটির উত্তর রাশি, দ্বিতীয় অনুপাতটির পূর্ব রাশির সমান হতে হবে। যেমন, 2 : 3 এবং 4 : 3 অনুপাত দুইটি ক : খ গ আকারে প্রকাশ করতে হলে প্রথম অনুপাতটির উত্তর রাশিটিকে দ্বিতীয় অনুপাতটির পূর্ব রাশির সমান করতে হবে। অর্থাৎ ঐ দুইটি রাশিকে এদের ল.সা.গু. এর সমান করতে হবে।
এখানে, 3, 4 এর ল.সা.গু. 12
এখন, 2 : 3 = 2/3 = 2 x 4 /3 x 4 = 8/12 = 8:12
আবার, 4 : 3 = 4/3 = 4 x 3 /3 × 3 = 12/9 = 12:9
অতএব 2 : 3 এবং 4 : 3 অনুপাত দুইটি ক : খ : গ আকারে হবে 8 : 12: 9
লক্ষ করি যে, উপরের উদাহরণে সামির আয় যদি 1125 টাকা হয়, তাহলে তাদের আয়ের অনুপাতও 8 : 12: 9 আকারে লেখা যাবে।
উদাহরণ ১২.
ক, খ ও গ এক জাতীয় রাশি এবং ক : খ = 3 : 4, খ : গ = 6 : 7 হলে, ক : খ : গ কত?
সমাধান:
ক : খ = 3/4 = 3 x 3/ 4 x 3 = 9/12 এবং খ : গ = 6/7 = 6 x 2 /7 x 2 = 12/14 [এখানে 4 ও 6 এর ল. সা. গু. 12]
ক : খ : গ = 9 : 12: 14
উদাহরণ ১৩.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 3 : 4 : 5, কোণ তিনটি ডিগ্রিতে প্রকাশ কর।
সমাধান:
মনে করি, প্রদত্ত অনুপাত অনুসারে কোণ তিনটি যথাক্রমে 3x, 4x এবং 5x। ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
প্রশ্নানুসারে, 3x + 4x + 5x = 180°
বা, 12x = 180°
বা, x = 15°
অতএব, কোণ তিনটি হল,
3x = 3 × 15° = 45°
4x = 4 × 15° = 60°
এবং 5x = 5 x 15° = 75°
উদাহরণ ১৪.
যদি কোনো বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর পরিমাণ 10% বৃদ্ধি পায়, তবে তার ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?
সমাধান:
মনে করি, বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার। সুতরাং, বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল a2 বর্গমিটার। 10% বৃদ্ধি পেলে প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য হয় (a + a এর 10%) মিটার বা 1.10a মিটার।
তখন, বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ( 1.10 ) 2 বর্গমিটার বা 1.2102 বর্গমিটার
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় (1.210 2 – a2 ) = 0.210a2 বর্গমিটার
ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি পাবে x0.210a2/a2 x 100% = 21%
সমানুপাতিক ভাগ
কোনো রাশিকে নির্দিষ্ট অনুপাতে ভাগ করাকে সমানুপাতিক ভাগ বলা হয়। S কে a : b : c : d অনুপাতে ভাগ করতে হলে, S কে মোট a + b + c + d ভাগ করে যথাক্রমে a, b, c ও d ভাগ নিতে হয়। অতএব,
১ম অংশ S এর = a/(a+b+c+d) =Sa/(a+b+c+d)
২য় অংশ = S এর b/(a+b+c+d) = Sb/(a+b+c+d)
৩য় অংশ = S এর c/a(a+b+c+d) = Sc/(a+b+c+d)
৪র্থ অংশ = S এর d/(a+b+c+d) = Sd /(a+b+c+d)
এভাবে যেকোনো রাশিকে যেকোনো নির্দিষ্ট অনুপাতে ভাগ করা যায়।
উদাহরণ ১৫.
একটি আয়তাকার জমির ক্ষেত্রফল 12 হেক্টর এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য 500 মিটার। ঐ জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের সঙ্গে অপর একটি জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত যথাক্রমে 3 : 4 এবং 2 : 3।
ক) প্রদত্ত আয়তাকার জমিটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?
খ) অপর জমিটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
গ) প্রদত্ত জমিটির প্রস্থ নির্ণয় কর।
সমাধান :
ক) আমরা জানি, 1 হেক্টর = 10,000 বর্গমিটার
12 হেক্টর = 12 x 10,000 = 120000 বর্গমিটার
খ) দেওয়া আছে, প্রদত্ত জমির দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থের সঙ্গে অপর একটি জমির দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থের অনুপাত যথাক্রমে 3 : 4 এবং 2 : 3 ।
মনে করি, প্রদত্ত জমির দৈর্ঘ্য 3 মিটার এবং প্রস্থ 2y মিটার।
সুতরাং, অপর জমির দৈর্ঘ্য 4 মিটার এবং প্রস্থ 3y মিটার।
প্রদত্ত জমির ক্ষেত্রফল 3x.2y = 6xy বর্গমিটার
এবং অপর জমির ক্ষেত্রফল = 4x-3y= 12xy
প্রশ্নমতে, 6xy = 120000 বা, xy = 20000
অপর জমির ক্ষেত্রফল 12xy = 12 x 2000 = 240000 বর্গমিটার
গ) মনে করি, প্রদত্ত জমির দৈর্ঘ্য 3x মিটার এবং প্রস্থ 2y মিটার।
সুতরাং, জমিটির একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য √{(3x)2 + (2y} 2 মিটার
(খ) থেকে পাই, xy = 20000
প্রশ্নমতে, √{(3x)2 + (2y)2} = 500
বা, 9x²+4y² = 250000
বা, (3x+2y)2-2.3x.2y= 250000
বা, (3x+2y)2-12xy = 250000
বা, (3x+2y)2-12 x 20000 = 250000
বা, (3x+2y)² = 250000 + 240000
বা, (3x+2y)2 = 490000
বা, 3x+2y= 700 … (1)
বা, (3x-2y)²=(3x+2y)² – 4.3x.2y
বা, (3x-2y)²=(3x+2y)² — 24xy
বা, (3x-2y)2 = (700)2 – 24 x 20000
বা, (3x-2y)2 = 490000 – 480000
বা, (3x-2y)2 = 10000
বা, 3x-2y= 100… (2)
(1) নং থেকে ( 2 ) নং বিয়োগ করে পাই,
4y = 600 বা, y = 150
.:. প্রদত্ত জমিটির প্রস্থ 2y = 2 x 150 = 300 মিটার।
আরও দেখুনঃ