নির্ণায়কের পর্যায় গণিত এর খুব গুরুত্বপূর্ণ একটি বিষয়। নির্ণায়ক (Determinants) হল এক বিশেষ ধরনের ফাংশন যা একটি বাস্তব সংখ্যাকে একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের (Square Matrix) সাথে সম্পর্কিত করে। এটি পলিটেকনিক এর ম্যাথমেটিক্স – ২ নামক সাবজেক্টের অংশ যার কোর্স কোড ৬৫৯২১। এটি পলিটেকনিক এর ম্যাথমেটিক্স – ২ এর ১ম অধ্যায়ের পাঠ।

Table of Contents

নির্ণায়কের পর্যায়

নির্ণায়ক (Determinant)

১৬৯৩ খ্রিস্টাব্দে গণিতবিদ লিবনিজ (Leibnitz) সরল সমীকরণমালার সমাধানে এক বিশেষ সম্পর্কের অবতারণা করেন। উনবিংশ শতাব্দীতে গাউস (Gauss) এবং কসি (Cauchy) এ সম্পর্কে আরও সুস্পষ্ট ধারণা দেন। সর্বপ্রথম কসি গাণিতিক ফাংশনের নাম দেন নির্ণায়ক (Determinant).

নির্ণায়ক (Determinant):

নির্ণায়ক হলো বিশেষ আকারে লিখিত নির্দিষ্ট এক প্রকারের রাশি। কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স $[a^{1} b^{1} a^{2} b^{2}]$ এর উপাদানগুলোকে একই রেখে এবং তাদের অবস্থানের পরিবর্তন না করে $∣ ∣ a^{1} b^{1} a^{2} b^{2} ∣ ∣$ আকারে লিখলে একে প্রদত্ত বর্গ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক বা সংক্ষেপে শুধু নির্ণায়ক বলে।

এখানে $a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}$ কে নির্ণায়কের উপাদান এবং $a_{1}, a_{2}$ হল নির্ণায়কটির প্রধান কর্ণ গঠনকারী উপাদান।

নির্ণায়কের উপাদানগুলোর অনুভূমিক বিন্যাসকে সারি (row) এবং উলম্ব বিন্যাসকে স্তম্ভ বা (column) বলে।
নির্ণায়কের সারি ও কলাম সংখ্যা অবশ্যই সমান হতে হবে।
নির্ণায়কের মাত্রা: কোন নির্ণায়কের সারি ও কলাম সংখ্যা n হলে, তাকে n মাত্রার নির্ণায়ক বলা হয়।

নির্ণায়কের পদ :

তৃতীয় মাত্রার নির্ণায়ক $∣ ∣ a^{1} a^{2} a^{3} b^{1} b^{2} b^{3} c^{1} c^{2} c^{3} ∣ ∣$ এর উপাদান $a_{1}, b_{1}, c_{1}$ ইত্যাদি গুণফলকে নির্ণায়কের পদ (terms) বলা হয়।

মূখ্য কর্ণ ও মাধ্যমিক কর্ণ:

উপরের নির্ণায়ক লক্ষ্য করলে দেখা যায় $a_{1}, b_{2} ও c_{3}$ উপাদানগুলো একটি কর্ণ এবং $a_{3}, b_{2}, c_{1}$ উপাদানগুলো অপর একটি কর্ণ গঠন করে। প্রথম কর্ণকে মুখ্য কর্ণ এবং দ্বিতীয় কর্ণকে মাধ্যমিক কর্ণ বলা হয়। মূখ্যকর্ণের উপাদানগুলোর গুণফল $a_{1}, b_{2}, c_{3}$ কে মুখ্যপদ এবং মাধ্যমিক কর্ণের উপাদানগুলোর গুণফলকে $a_{3}, b_{2}, c_{1}$ মাধ্যমিক পদ বলে।

নির্ণায়কের মান নির্ণয় (Determining of Determinant of Matrix)

এক ক্ৰমের নির্ণায়কের মান: $A = [a_{11}]$ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক $∣ A ∣ = ∣ a_{11} ∣ = a_{11}$

অর্থাৎ কোনো নির্ণায়কের একটি মাত্র সারি ও একটি মাত্র কলাম থাকলে এর মান হবে নির্ণায়কটি যে সংখ্যা দ্বারা গঠিত ঐ সংখ্যাই।

উদাহরণ: |-6|=6 আবার, |5|=5

2×2 আকারের নির্ণায়কের মান: $[a^{11} a^{21} a^{12} a^{22}]$ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক $∣ A ∣ = a_{11} . a_{22} - a_{12} . a_{21}$

3×3 আকারের নির্ণায়কের মান :

তিনটি সারি ও তিনটি কলাম দ্বারা নির্ণায়কের বিস্তার সহজে করার জন্য জন্য সারস ডায়াগ্রাম (Sarrus Diagram) ব্যবহার করা হয়। এ পদ্ধতিতে নির্ণায়কের ভুক্তিগুলিকে পাশাপাশি দুইবার লিখে নির্ণায়কের মান নিম্নোক্তভাবে বের করা হয়।

$A = ⎣ ⎡ a^{11} a^{21} a^{31} a^{12} a^{22} a^{32} a^{13} a^{23} a^{33} ⎦ ⎤$ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক

$∣ A ∣ = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{23} a_{31} - a_{13} a_{22} a_{31} \dots\dots (i) = a_{11} (a_{22} a_{33} - a_{23} a_{32}) + a_{12} (a_{21} a_{33} - a_{23} a_{31}) + a_{13} (a_{21} a_{32} - a_{22} a_{31}) = a_{11} ∣ ∣ a^{22} a^{32} a^{23} a^{33} ∣ ∣ - a_{12} ∣ ∣ a^{21} a^{31} a^{23} a^{32} ∣ ∣ + a_{13} ∣ ∣ a^{21} a^{31} a^{22} a^{32} ∣ ∣ \dots\dots (ii)$

অন্যভাবে (ii) হতে বলা যায় {(1,1)–তম ভুক্তি ×(১ম সারি ও ১ম কলাম বাদে অবশিষ্ট অংশের নির্ণায়ক)}-{(1,2)–তম ভুক্তি ×(১ম সারি ও ২য় কলাম বাদে অবশিষ্ট অংশের নির্ণায়ক)}+{(1,3)–তম ভুক্তি ×(১ম সারি ও ৩য় কলাম বাদে অবশিষ্ট অংশের নির্ণায়ক)} সরল করলে তিন ধরনের নির্ণায়ক পাওয়া যায়।

নির্ণায়কের পর্যায় | পলিটেকনিক ম্যাথমেটিক্স