পৌনঃপুনিক দশমিকের সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর

আজকে আমরা  আলোচনা করবোপৌনঃপুনিক দশমিকের সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর । যা উচ্চতর গণিতের অসীম ধারা অংশের অন্তর্গত।

 

 

পৌনঃপুনিক দশমিকের সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর

 

উদাহরণ ৩.

নিম্নের পৌনঃপুনিক দশমিক সংখ্যাসমূহকে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর কর: ক) 0.5≐ খ) 0.1≐2≐ গ) 1.2≐31≐

সমাধান:

ক) 0.5≐ = 0.555… = 0.5+0.05+0.005+…

এই অসীম গুণোত্তর ধারাটির ১ম পদ a = 0.5 এবং সাধারণ অনুপাত r = 0.05 /0.5 = 0.1

∴ 0.5≐ = a/(1-r) =  0.5/(1-0.1) = 0.5/0.9 = 5/9

খ) 0.1≐2≐ = 0.12121212… = 0.12 +0.0012 + 0.000012+…

এই অসীম গুণোত্তর ধারাটির ১ম পদ a = 0.12 এবং সাধারণ অনুপাত r = 0.0012/0.12 = 0.01

∴ 0.1≐2≐ = a/(1-r) =  0.12/(1-0.01) = 0.12/0.99 =4/33

গ) 1.2≐31≐ = 1.231231231… = 1+ (0.231+0.000231 +0.000000231 + …)

এখানে, বন্ধনীর ভিতরের অংশটি একটি অসীম গুণোত্তর ধারা।

আর সেই গুণোত্তর ধারার ১ম পদ a = 0.231 এবং সাধারণ অনুপাত r = 0.000231 /0.231

∴ 1.2≐31≐ = = 1+ a/(1-r) =  1 + 0.231/(1-0.001) = 1 + 0.231/999 =410/333

 

 

উদাহরণ ৪.

1/( 2x + 1) + 1/(2x + 1)2 = 1/(2x + 1) 3 + … একটি অনন্ত গুণোত্তর ধারা।

ক) x = 1 হলে, ধারাটির সাধারণ অনুপাত নির্ণয় কর।

খ) x = 3/2 হলে, ধারাটির পঞ্চম পদ এবং প্রথম 10 পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

গ) x এর উপর কী শর্ত আরোপ করলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে এবং সেই সমষ্টি নির্ণয়
কর।

সমাধান :

ক) দেওয়া আছে, 1/( 2x + 1) + 1/(2x + 1)2 = 1/(2x + 1) 3 + … একটি অনন্ত গুণোত্তর ধারা।

x = 1 হলে, ধারাটি = 1/ (2.1+1) + 1/(2.1+1)2 +1/(2.1+1)3
= 1/3 + 1/32 +1/ 33 + ………

ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = (1/32)/(1/2) = 1/3

 

 

খ) দেওয়া আছে, 1/( 2x + 1) + 1/(2x + 1)2 = 1/(2x + 1) 3 + …

r =3/2 হলে, ধারাটি = 1/(2.2/2+1) + 1/(2.2/2+1)² + 1/(2.2/2+1)3 + ………

1/4 +1/4² + 1/43

ধারাটির প্রথম পদ, a =1/4 ; সাধারণ অনুপাত, r = (1/4²)/(1/4) = 1/4 < 1

∴  ধারাটির পঞ্চম পদ = ar5-1 =(1/4). (1/4)5-1/(1/4)5 = 1/45

ধারাটির প্রথম দশ পদের সমষ্টি = a(1-rn)/(1-r)   [n = 10]

= 1/4{1 -(1/4)10}/(1-1/4)

= 1/4(1 -1/410)/(3/4)

= 1/4 x (4/3) (1 -1/410)

= 1/3 (1 -1/410)

 

গ) ধারাটির প্রথম পদ, a = 1 /(2x + 1), সাধারণ অনুপাত, r = {1 /(2x + 1)2}/{1 /(2x + 1)} = 1 /(2x + 1)

এখানে, 1 /(2x + 1) ≠ 0, অতএব, 1 /(2x + 1) > 0 অথবা 1 /(2x + 1) <0…(1)

এবার ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি, |r| < 1 অর্থাৎ |1 /(2x + 1) | < 1 হয় ………. (2)

যখন উপরের (1) এর শর্ত 1 /(2x + 1) > 0 সত্য অর্থাৎ 2x + 1 > 0 [গুণোত্তর বিপরীতের চিহ্ন একই] তখন (2) এ সেটা বসিয়ে পাই 1 /(2x + 1) <1

এবার উভয় পক্ষে ধনাত্মক সংখ্যা 2x + 1 দিয়ে গুণ করলে অসমতার চিহ্ন একই থাকবে

অর্থাৎ 1 < 2x + 1, বা, 1 – 1 < 2x, বা, 0 <2x, বা, 2x > 0  বা, x > 0

যখন উপরের (1) এর শর্ত 1 /(2x + 1) < 0 সত্য অর্থাৎ 2x + 1 <0 [গুণোত্তর বিপরীতের চিহ্ন একই] তখন (2) এ সেটা বসিয়ে পাই -{1 /(2x + 1)} < 1

এবার উভয় পক্ষে ঋণাত্মক সংখ্যা 2x + 1 দিয়ে গুণ করলে অসমতার চিহ্ন বদলে যাবে

অর্থাৎ −1 > 2x + 1, বা, – 1 – 1 > 2x, বা, – 2 > 2x, বা, −1 > x,

বা, x < -1

নির্ণেয় শর্ত x < -1 অথবা, x > 0

সুতরাং ধারাটির অসীমতক সমষ্টি S∞ = a/(1-r) = {1 /(2x + 1)}/{1-1 /(2x + 1)}

লব ও হরকে (2x + 1) দ্বারা গুণ করে,S∞ =1 /(2x + 1 – 1) = 1/2x