বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের অন্তরীকরণ || Polytechnic Math

বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের অন্তরীকরণ ক্লাসটি পলিটেকনিক (Polytechnic) কারিকুলাম এর, ম্যাথম্যাটিকস – ২ (Mathematics 2) কোর্সের অংশ, যার কোর্স কোড ৬৫৯২১। এই গণিতগুলো ম্যাথম্যাটিকস – ২ (৬৫৯২১) কোর্সের ৪র্থ অধ্যায়ের (Chapter 4) গণিত।

 

বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের অন্তরীকরণ

 

বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন(Inverse trigonometric functions):

$\sin \theta =x:(-1\le x\le 1\text{ এবং }x\in \mathbb{R})$ হলে আমরা বুঝি একটি কোণ যার $sine$ এর মান $x$ এর সমান। এ কথাটিকে উল্টোভাবে =sin⁡−1θ=sin−1x দ্বারাও প্রকাশ করা হয়। সুতরাং sin⁡−1sin−1x প্রতীকটি এমন একটি কোণ নির্দেশ করে যার $sine$ অনুপাত $x$ এর সমান। তাই দেখা যাচ্ছে যে, sin⁡−1sin−1xএকটি কোণ। কিন্তু $\sin \theta$ একটি সংখ্যা।

সুতরাং, $\sin \theta =x$ এবং =sin⁡−1θ=sin−1x সমীকরণদ্বয় সমতুল্য। এদের একটি থেকে অপরটি সহজেই প্রতিপাদন করা যায়। sin⁡−1sin−1x কে সাইন ইনভার্স $x$ ($sine$ inverse $x$) বা ইনভার্স সাইন অফ $x$ (inverse $sine$ of $x$) পড়া হয়। sin⁡−1sin−1x এর পরিবর্তে এর মুখ্য মানকে অনেক সময় $arcsinx$এবং সাধারণ মানকে $Arcsinx$ লেখা হয়ে থাকে। cos⁡−1cos−1x, tan⁡−1tan−1x, cosec⁡−1cosec−1x প্রভৃতি কোণকে বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন বা বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশন বলা হয়।

বি.দ্র. (i) sin⁡−1sin−1x এবং (sin⁡)−1(sinx)−1 এক নয়। প্রথমটি একটি কোণ এবং দ্বিতীয়টি একটি বিশুদ্ধ রাশি নির্দেশ করে। অর্থাৎ sin⁡−1sin−1x এর পরিবর্তে (sin⁡)−1(sinx)−1 বা 1sin⁡sinx1​  লেখা যাবে না।

(ii) 1sin⁡2sin2x1​ কে  (sin⁡)−2(sinx)−2 লেখা যাবে কিন্তু 1sin⁡2sin2x1​  কে  sin⁡−2sin−2x লেখা যাবে না। অন্যান্য বিপরীত ফাংশনের ক্ষেত্রে একই নিয়ম প্রযোজ্য।

(iii)sin⁡−1sin−1x ,$x$ এর যেকোনো মানের জন্য সংজ্ঞায়িত নয়। যেমন $x=2$ হলে sin⁡−1sin−1x সংজ্ঞায়িত হয় না। অনুরূপে cos⁡−1cos−1x, sec⁡−1sec−1x, cosec⁡−1cosec−1x এর যেকোনো মানের জন্য সংজ্ঞায়িত হয় না।

মুখ্যমান (Principal Value): একটি ত্রিকোণমিতিক বিপরীত ফাংশনের মুখ্যমান হল সেই মান (ধনাত্মক/ঋণাত্মক) যার সাংখ্যিক মান সব সাংখ্যিক মধ্যে ক্ষুদ্রতম।

 

 

মুখ্য মানগুলোর সীমা হচ্ছে (Range of Principal values):

1. কোন বাস্তব সংখ্যা $x$, $-1\le x\le$ 1 শর্ত সিদ্ধ করলে [−2,2][−2π​,2π​] বদ্ধ ব্যবধিতে sin⁡−1sin−1x  এর যে মান বিদ্যমান তাকে sin⁡−1sin−1x  এর মুখ্যমান বলে। যেমন:  sin⁡−1(12)sin−1(21​)এর মুখ্যমান66π​এবং   sin⁡−1(−12)sin−1(−21​)এর মুখ্যমান −66−π​
2. কোন বাস্তব সংখ্যা $-1\le x\le$শর্ত সিদ্ধ করলে $[0,\pi ]$, বদ্ধ ব্যবধিতে cos⁡−1cos−1x এর যে মান বিদ্যমান তাকে cos⁡−1cos−1x এর মুখ্যমান বলে। যেমন: cos⁡−1(12)cos−1(21​)এর মুখ্যমান 3 এবং sin⁡−1(−12)sin−1(−21​) এর মুখ্যমান 23
3. কোন বাস্তব সংখ্যা $x$, $-\infty <x<\infty$ শর্ত সিদ্ধ করলে (−2,2)(−2π​,2π​) বদ্ধ ব্যবধিতে tan⁡−1tan−1xএর যে মান বিদ্যমান তাকে tan⁡−1tan−1xএর মুখ্যমান বলে। tan⁡−11tan−11 এর মুখ্যমান 44π​এবং tan⁡−1(−1)tan−1(−1) এর মুখ্যমান −4−4π​
4. কোন বাস্তব সংখ্যা$x\le -1$ or $x\le 1$ শর্ত সিদ্ধ করলে (−2,2)(−2π​,2π​)ব্যবধিতে cosec⁡−1cosec−1x এর যে মান বিদ্যমান তাকে cosec⁡−1cosec−1x এর মুখ্যমান বলে। cosec⁡1(2)cosec1(2) এর মুখ্যমান 33π​ এবং cosec⁡−1(−2)cosec−1(−2)এর মুখ্যমান −3−3π​
5. কোন বাস্তব সংখ্যা $x\le -1$ or$x\le 1$শর্ত সিদ্ধ করলে$[0,\pi ]$, ব্যবধিতে sec⁡−1sec−1x এর যে মান বিদ্যমান তাকে sec⁡−1sec−1x এর মুখ্যমান বলে। যেমন: sec⁡−12sec−12 এর মুখ্যমান 33π​ এবং sec⁡−1(−2)sec−1(−2) এর মুখ্যমান 2332π​
6. কোন বাস্তব সংখ্যা $x\le -1$ or$x\le 1$শর্ত সিদ্ধ করলে(−2,2)(−2π​,2π​) ব্যবধিতে cot⁡−1cot−1x এর যে মান বিদ্যমান তাকে cot⁡−1cot−1xএর মুখ্যমান বলে। যেমন: [katex]\cot ^{-1} 1 [/katex] এর মুখ্যমান −3−3π​এবংcot⁡−1(−2)cot−1(−2)এর মুখ্যমান −4−4π​

Tips:

1. −1 sin−1x  এর মুখ্য মান $\alpha$ হয় তবে  sin⁡−1sin−1x এর সাধারণ মান হবে±(−1)nπ±(−1)nα মধ্যে যে কোণটির মান সাংখ্যিকভাবে (numerical) ক্ষুদ্রতম সেই কোণটিকে (ঋণাত্মক বা ক্ষুদ্রতম) বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের প্রধান বা মুখ্যমান (Principle value) ধরা হয়। যদি কোন বিপরীত তৃতীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে ক্ষুদ্রতম মানটি ধনাত্মক বা ঋণাত্মক উভয়ই হয় যাদের সাংখ্যমান সমান সেক্ষেত্রে ধনাত্মক মানটিকে মুখ্যমান ধরা হয়।

যেমন: cos⁡3=12cos3π​=21​ এবং cos⁡−3=12cos3−π​=21​ সুতরাং cos⁡−112cos−121​ এর মুখ্যমান হবে 33π

 

​

 

 

বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের অন্তরীকরণ ঃ