ভেক্টরের সাংখ্যগুণিতক সংক্রান্ত বণ্টন সূত্র

আজকে আমরা আলোচনা করবো ভেক্টরের সাংখ্যগুণিতক সংক্রান্ত বণ্টন সূত্র। যা উচ্চতর গণিতের  সমতলীয় ভেক্টর অংশের অন্তর্গত।

 

 

ভেক্টরের সাংখ্যগুণিতক সংক্রান্ত বণ্টন সূত্র

m, n দুইটি স্কেলার এবং দুইটি ভেক্টর হলে,

১. (m + n)u = mu + nu

২. m(u+v) = mu + mv

সূত্র ১.

(m + n) u = mu + nu

 

 

প্রমাণ:

m বা n শূন্য হলে সূত্রটি অবশ্যই খাটে।

মনে করি, m, n উভয়ে ধনাত্মক এবং AB = mu

∴ |AB|= mu

AB কে C পর্যন্ত বর্ধিত করি যেন | BC| = n|u| হয়

∴BC = nu

|AC| = |AB| + |BC| = m|u| + n|u| = (m + n)|u|

∴ AC = (m+n)

কিন্তু AC = AB + BC

∴ m+n = (m+n)

m,n উভয়ে ঋণাত্মক হলে (m + n)u এর দৈর্ঘ্য হবে | (m + n)||u| এবং দিক হবে u এর দিকের বিপরীত দিক। তখন mu + nu ভেক্টরটির দৈর্ঘ্য হবে |m||u| + |n||u| = (|m| + |n|)|u| এবং দিক হবে u এর বিপরীত দিক। কিন্তু m < 0 এবং n < 0 হলে |m| + |n| = |m + n| হয়, সেহেতু = এক্ষেত্রে (m + n) = mu + nu পাওয়া গেল।

সর্বশেষ m এবং n এর মধ্যে একটি > 0 এবং অপরটি < 0 হলে (m + n)u এর দৈর্ঘ্য হবে | (|m|– |n|) |u| এবং দিক হবে u এর দিকের সাথে একমুখী যখন | m| > | n| এবং u এর বিপরীত দিক যখন |m| < |n|। তখন mu + nu ভেক্টরটিও দৈর্ঘ্যে ও দিকে (m + n)u এর সাথে একমুখী হবে।

 

 

দ্রষ্টব্য:

তিনটি বিন্দু A, B, C সমরেখ হবে যদি এবং কেবল যদি AC, AB এর সাংখ্য গুণিতক হয়।

মন্তব্য:

ক) দুইটি ভেক্টরের ধারক রেখা অভিন্ন অথবা সমান্তরাল হলে এবং তাদের দিক একই হলে, তাদের সদৃশ (similar) ভেক্টর বলা হয়।

খ) যে ভেক্টরের দৈর্ঘ্য 1 একক, তাকে (দিক নির্দেশক) একক ভেক্টর বলে।

সূত্র ২.

m (u + v) = mu + mv

 

 

প্রমাণ:

মনে করি, OA = u, AB = v। তাহলে OB = OA + AB = u + v

OA কে C পর্যন্ত বর্ধিত করি যেন OC = m .OA হয়। উপরের বামের চিত্রে m ধনাত্মক ও ডানের চিত্রে m ঋণাত্মক। C বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত AB এর সমান্তরাল CD রেখা OB এর বর্ধিতাংশকে D বিন্দুতে ছেদ করে। যেহেতু OAB এবং OCD ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ,

সেহেতু |CD|/|OA| = |CD|/|AB| = |OD|/|OB| = m

∴ OC = m . OA, CD = m . AB, OD = m . OB

∴ CD = mAB = mv

এখানে, OC + CD = OD

বা, m(OA) + m(AB) = m (OB)

∴ mu+mv=m(u+v)

দ্রষ্টব্য:

m এর সকল মানের জন্য উপরোক্ত সূত্র সত্য।

 

 

ব্যবহারের সুবিধার্থে ভেক্টর সম্পর্কিত নিয়মগুলো নিচে একত্রে লেখা হলো:

১. u+v=v+u

২. (u + v) + w = u + (v+ w )

৩. u+0 = 0+ u = u

৪. u + (-u) = (-u) + u = 0

৫. u+v = u+w হলে  v = w

৬. m(nu) = n(mu) = (mn)(u)

৭. Ou = 0

৮. 1u= u

৯. (-1)u = -u

১o. (m + n)u = mu+nu

আরও দেখুনঃ

• সরলরেখার ঢাল