আজকে আমাদের আলোচনার বিষয়ঃ বর্গ সংবলিত সূত্রাবলি। এটি নবম – দশম শ্রেনী গণিতের বীজগাণিতিক রাশি এর অন্তর্গত।
বর্গ সংবলিত সূত্রাবলি
বীজগাণিতিক প্রতীক দ্বারা প্রকাশিত যেকোনো সাধারণ নিয়ম বা সিদ্ধান্তকে বীজগাণিতিক সূত্র বলা হয়। সপ্তম ও অষ্টম শ্রেণিতে বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এতদসংক্রান্ত অনুসিদ্ধান্তগুলো সম্বন্ধে আলোচনা করা হয়েছে। এ অধ্যায়ে ঐগুলো পুনরুল্লেখ করে কতিপয় প্রয়োগ দেখানো হলো।
সূত্র ১.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b2
সূত্র ২.
(a – b) 2 = a2 – 2ab + b2
মন্তব্য:
সূত্র ১ ও সূত্র ২ হতে দেখা যায় যে, a2 + b2 এর সাথে 2ab অথবা – 2ab যোগ করলে একটি পূর্ণবর্গ, অর্থাৎ (a + b)2 অথবা (a – b) 2 পাওয়া যায়। সূত্র ১ এ b এর স্থলে –b বসালে সূত্র ২ পাওয়া যায়: {a + (–b)} 2 = a 2 + 2a ( – b) + (- b)2 অর্থাৎ, (a – b) 2 = a2 – 2ab + b2 ।
অনুসিদ্ধান্ত ১.
a2 + b2 = (a + b) 2 – 2ab
অনুসিদ্ধান্ত ২.
a2 + b2 = (a – b) 2 + 2ab
অনুসিদ্ধান্ত ৩.
(a + b) 2 = (a – b) 2 + 4ab
প্রমাণ:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = a2 – 2ab + b2 + 4ab = (a – b) 2 + 4ab
অনুসিদ্ধান্ত ৪.
(a – b) 2 = (a + b) 2 – 4ab
প্রমাণ: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 = a 2 + 2ab + b2 – 4ab = (a + b) 2 – 4ab
অনুসিদ্ধান্ত ৫.
a2 + b2 = {(a + b) 2 + (a – b)2 }/2
প্রমাণ:
সূত্র ১ ও সূত্র ২ হতে,
a²+2ab+b² = (a+b)2
a² – 2ab+b² = (a – b)2
যোগ করে, 2a2 + 2b2 = (a+b)² + ( a − b)²
বা, 2 (a2 + b2) = (a+b)² + (a – b)2
সুতরাং, (a² + b²) = {(a+b)² + (a – b)²}/2
অনুসিদ্ধান্ত ৬
ab = (a + b)²/2 – (a – b) ²/2
প্রমাণ:
সূত্র ১ ও সূত্র ২ হতে
a²+2ab+b² = (a+b)2
a² – 2ab+b² = (a – b)2
বিয়োগ করে, 4ab = (a+b)² – (a – b)2
বা, ab = (a + b)2/4 – (a – b)²/4
সুতরাং, (a + b)²/2 – (a – b) ²/2
মন্তব্য:
অনুসিদ্ধান্ত ৬ প্রয়োগ করে যেকোনো দুইটি রাশির গুণফলকে ঐ দুইটি রাশির সমষ্টির অর্ধেকের বর্গ হতে ঐ দুইটি রাশির অন্তরের অর্ধেকের বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করা যায়।
সূত্র ৩.
a2 – b2 = (a + b) (a – b)
অর্থাৎ, দুইটি রাশির বর্গের বিয়োগফল = রাশি দুইটির যোগফল × রাশি দুইটির বিয়োগফল
সূত্র 8.
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab
অর্থাৎ, (x + a) (x + b) = x2 + (a ও b এর বীজগাণিতিক যোগফল) x + (a ও b এর গুণফল)
বর্গসূত্রের সম্প্রসারণ: a+b+c রাশিটিতে তিনটি পদ আছে। একে (a + b) এবং c এ দুইটি পদের সমষ্টিরূপে বিবেচনা করা যায়। অতএব, সূত্র ১ প্রয়োগ করে রাশিটির বর্গ করে পাই,
(a+b+c)2 = {(a + b) + c} 2 = (a + b) 2 + 2(a + bc + c2
=a2+2ab+b²+2ac+2bc + c² = a² + b² + c² +2ab+2bc + 2ac
সূত্র ৫.
(a + b + c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2ab+2bc + 2ac
অনুসিদ্ধান্ত ৭.
a2 + b2 + c2 = (a + b + c) 2 – 2 (ab + bc + ac )
অনুসিদ্ধান্ত ৮.
2(ab + bc + ac) = (a + b + c) 2 – (a2 + b2 + c2)
দ্রষ্টব্য:
সূত্র ৫ প্রয়োগ করে পাই,
ক) (a + b – c) 2 = {a + b + (- c)} 2
= a2 + b2 + (- c) 2 + 2ab + 2b (c) + 2a (c)
= a2 + b2 + c2 + 2ab 2bc – 2ac
খ) ( a – b + c) 2 = {a + (– b) + c}2
= a² + (-b)² + c²+2a(-b) + 2(-b)c+2ac
= a2 + b2 + c2 – 2ab 2bc + 2ac
গ) (a-b-c)²= {a+(-b) + (−c)}²
= a²+(-b)² + (−c)² + 2a(-b) + 2(-b)(−c) +2a(−c)
=a2+b²+c2-2ab+2bc-2ac
উদাহরণ ১.
(4x + 5y) এর বর্গ কত?
সমাধান:
(4x+5y)² = (4x)² + 2 × (4x) × (5y) + (5y)² = 16x² + 40xy + 25y²
উদাহরণ ২.
(3a – 7b) এর বর্গ কত?
সমাধান:
(3α-76)² = (3a)² – 2 × (3a) × (7b) + (7b)² = 9a² – 42ab+4962
উদাহরণ ৩.
বর্গের সূত্র প্রয়োগ করে 996 এর বর্গ নির্ণয় কর।
সমাধান:
(996)2 = (1000-4)2(1000)² – 2 x 1000 × 4+42
= 1000000-8000+16
= 1000016 – 8000 = 992016
উদাহরণ ৪.
a+b+c+d এর বর্গ কত?
সমাধান:
(a+b+c+d)² = {(a+b) + (c+d)}²
= (a+b)² + 2(a+b) (c+d)+(c+d)²
= a²+2ab+b² + 2(ac + ad + bc + bd) + c² + 2cd+d²
= a² + b² + c² + d²+2ab+2ac+2ad + 2bc+2bd+2cd
উদাহরণ ৫.
সরল কর: (5x + 7y+3z)²+2(7x7y – 3z) (5x + 7y+3z) + (7x-7y-32)2
সমাধান:
ধরি, 5x + 7y+3z = a এবং 7x – 7y – 3z = b
প্রদত্ত রাশি = a² +2⋅b⋅a+b² = a²+2ab+b²
=(a+b)2
= {(5x + 7y+3z) + (7x-7y-3z)}2 [ a ও b এর মান বসিয়ে ]
= (5x + 7y+3z+7x-7y-3z)²
= (12x)² = 144×2
উদাহরণ ৬.
x – y = 2 এবং xy= 24 হলে, x + y এর মান কত?
সমাধান:
(x + y)² = (x − y)² + 4xy = (2)² + 4 × 24 = 4 +96 = 100
x+y = ±√100 = +10
উদাহরণ ৭.
যদি a4 + a2b2 + 64 = 3 এবং a2 + ab + b2 = 3 হয়, তবে a2 + b2 এর মান কত?
সমাধান:
a² + a²b² + b4
= (a²)² + 2a²b² + (b²)² – a²b²
= (a²+b²)² – (ab)²
= (a² + b² + ab) (a² + b² – ab)
= (a² + ab + b²) (a² — ab+b²)
3 = 3 (a2 – ab + b2) [মান বসিয়ে]
বা, a² – ab+b² = 3/3 = 1
বা, a²+ab+b² = 3 এবং a² – ab + b² = 1
যোগ করে পাই, 2(a2 + b2) = 4
বা, a2 + b2 = 4/2 = 2
a²+b² = 2
উদাহরণ ৮.
প্রমান কর যে, (a + b) — (a – b) = 8ab(a² + b²)
সমাধান:
(a+b)-(a – b)4
= {(a+b)²)² – {(a – b)2}2
= {(a+b)² + (a – b)²} {(a + b)² — (a – b)2} =
= 2(a2 + b2) × 4ab [অনুসিদ্ধান্ত ৫ এবং অনুসিদ্ধান্ত ৬ ব্যবহার করে]
= 8ab(a² + b²)
(a + b)¹ — (a – b)¹ = 8ab(a² + b²)
উদাহরণ ৯.
a + b + c = 15 এবং a2 + b2 + c2 = 83 হলে, ab + bc + ac এর মান কত?
সমাধান:
প্রথম পদ্ধতি:
2(ab+be+ac) = (a+b+c)² − (a² + b² + c²) = (15)² – 83 = 225-83 = 142
ab+be+ ac= 142/2 = 71
বিকল্প পদ্ধতি:
(a+b+c)² = (a² + b² + c²) + 2(ab+be+ac)
বা, (15)2 = 83+2(ab+bc + ac)
বা, 225-83 = 2(ab+bc + ac)
বা, 2(ab+be+ac) = 142
ab+bc + ac= 142/2 = 71
উদাহরণ ১০.
a+b+c=2 এবং ab+be+ac =1 হলে (a+b)² + (b+c)²+(c+a)² এর মান কত?
সমাধান:
(a+b)² + (b+c)²+(c+a)²
=a2+2ab+b² + b²+2bc + c² + c²+2ca + a2
= (a²+b² + c²+2ab+2bc+2ca) + (a² + b² + c²)
= (a+b+c)² + (a+b+c)² – 2 (ab+be+ca)
= (2)² +(2)² – 2 x 1
=4+4-2=8-2=6
উদাহরণ ১১.
(2x + 3y) (4x – 5y) কে দুইটি বর্গের বিয়োগফলরূপে প্রকাশ কর।
সমাধান:
ধরি, 2x + 3y = a এবং 4x – 5y = b
প্রদত্ত রাশি ab = (a+b)/2 – (a-b)/2
= (2x + 3y+4x-5y)/2 – (2x+3y-4x+5y)/ 2 [a ও b এর মান বসিয়ে]
= {(6x-2y)/2}² – {(8y – 2x)/2}² = {2(3x-y)/2}² – {2(4y – x)}²
=(3x − y)² – (4y-x)2
(2x+3y)(4x-5y) = (3x − y)² – (4y – x)2