বহুপদীর গুণফল ও ভাগফল

আজকে আমরা আলোচনা করবো  বহুপদীর গুণফল ও ভাগফল । যা উচ্চতর গণিতের বীজগানিতিক রাশি অংশের অন্তর্গত।

 

 

বহুপদীর গুণফল ও ভাগফল

দুইটি বহুপদীর যোগফল, বিয়োগফল এবং গুণফল সবসময় বহুপদী হয়। দুইটি বহুপদীর ভাগফল বহুপদী হতেও পারে নাও হতে পারে। যেমন x^3 দ্বারা x কে ভাগ করলে ভাগফল যদি x^- 2 ধরা হয় তখন এটি বহুপদী নয়। কিন্তু কে ভাগশেষ ধরে নিলে সেক্ষেত্রে ভাগফল 0 একটি বহুপদী।

উদাহরণ ২.

(x^2 + 2) কে (x + 1) দ্বারা গুণ করলে গুণফল কত?

এখানে (x2 + 2) এবং (x + 1) বহুপদী দুইটির গুণফল (x2 + 2) (x + 1) = x3 + x2 + 2x + 2 একটি বহুপদী যার মাত্রা 2 + 1 = 3 এবং মুখ্য সহগ 1 × 1 = 1।

উদাহরণ ৩.

(x2 + 1) (x – 6 ) কে 2x 2 + 3 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত?

এখানে ভাজ্য P(x) = (x2 + 1 ) (x – 6) = x3 – 6×2 + x -6 এর মাত্রা 3 এবং মুখ্য সহগ 1।

আর ভাজক Q(x) = 2×2 + 3 এর মাত্রা 2 এবং মুখ্য সহগ 2।

P(x) কে Q(x) দিয়ে ভাগ করলে, ভাগফল F(x) = (1/2)x- 3 এবং ভাগশেষ R ( x ) =-(x/2) +3

কাজেই, ভাগফল F(x) একটি বহুপদী যার মাত্রা 3 – 2 = 1 এবং মুখ্য সহগ 1/2

দ্রষ্টব্য:

দুইটি বহুপদীর গুণফল ও ভাগফলের মাত্রা ও মুখ্য সহগের ক্ষেত্রে নিম্নোক্ত সূত্রগুলো সত্য ।

 

 

ক) x চলকের বহুপদী P(x) এবং Q (x) এর গুণফল F(x) = P(x) Q(x) একটি বহুপদী

যার মাত্রা = P(x) এর মাত্রা + Q (x) এর মাত্রা এবং

মুখ্য সহগ = P(x) এর মুখ্য সহগ x Q(x) এর মুখ্য সহগ

খ) x চলকের বহুপদী P(x) কে Q(x) দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল যদি বহুপদী R (x) =  P(x) /Q(x) হয় তাহলে

R(x) এর মাত্রা = P(x) এর মাত্রা – Q(x) এর মাত্রা এবং

মুখ্য সহগ = P(x) এর মুখ্য সহগ/ Q(x) এর মুখ্য সহগ

ভাগ সূত্র

যদি P(x) ও Q(x) উভয়ই x চলকের বহুপদী হয় এবং Q(x) এর মাত্রা ≤ P(x) এর মাত্রা হয়, তবে Q(x) দ্বারা P(x) কে ভাগ করে ভাগফল F(x) ও ভাগশেষ R (x) পাওয়া যায়, যেখানে

ক) F(x) ও R(x) উভয়ই x চলকের বহুপদী,

খ) F(x) এর মাত্রা = P(x) এর মাত্রা – Q(x) এর মাত্রা,

গ) R (x) = 0 অথবা R (x) এর মাত্রা < Q (x) এর মাত্রা,

ঘ) সকল x এর জন্য P ( x ) = F ( x ) Q(x) + R ( x ) ।

 

 

সমতা সূত্র

ক) যদি সকল এর জন্য ax + b = px + q হয়, তবে x = 0 ও x = 1 বসিয়ে পাই, b = q এবং a + b = p+q যা থেকে দেখা যায় যে, a = p, b=q

খ) যদি সকল x এর জন্য ax2 + bx + c = px 2 + qx + r হয়, তবে x = 0, x = 1 ও x = −1 বসিয়ে পাই, c = r, a + b + c = p+q+r এবং a – b + c = p – q+r যা থেকে দেখা যায় যে, a = p, b=q, c=r

গ) সাধারণভাবে দেখা যায় যে, যদি সকল x এর জন্য aox^n + a1xn-1 + azan-2 +…….. + an-1x+an = Pox^n + P1x^n-1 + P2x^n-2 +….+ Pn-1x = Pn হয় তবে, ao = Po, a1 = P1 … an-1= Pn-1, an = Pn হয়,

অর্থাৎ, সমতা চিহ্নের উভয় পক্ষে এর একই ঘাতযুক্ত সহগদ্বয় পরস্পর সমান।

মন্তব্য:

চলকের n মাত্রার বহুপদীর বর্ণনায় সহগগুলোকে ag (a সাব-জিরো), a1 (a সাব-ওয়ান ইত্যাদি নেওয়া সুবিধাজনক ।

 

 

অভেদ (Identity)

দুইটি বহুপদী P(x) ও Q(x) সকল x এর জন্য সমান হলে, এদের সমতাকে অভেদ বলা হয় এবং তা বুঝাতে অনেক সময় P(x) = Q(x) লেখা হয়। এক্ষেত্রে P(x) ও Q(x) বহুপদী দুইটি অভিন্ন হয়। ≡ চিহ্নকে অভেদ চিহ্ন বলা হয়। সাধারণভাবে একই চলকসমূহের দুইটি বীজগণিতীয় রাশির সমতাকে অভেদ (identity) বলা হয়, যদি রাশি দুইটিতে প্রতিটি চলকের ডোমেন একই হয় এবং চলকসমূহের ডোমেনভুক্ত মানের জন্য রাশি দুইটির মান সমান হয়। যেমন, x(x + 2) = x2 + 2x, (x + y) 2 = x2 + 2xy + y2 উভয়ই অভেদ।

আরও দেখুনঃ

• সান্ত ও অনন্ত সেট (Finite and Infinite Sets )