আজকে আমাদের আলোচনার বিষয়ঃ বাস্তবভিত্তিক সমস্যার সহসমীকরণ গঠন ও সমাধান। এটি নবম – দশম শ্রেনী গণিতের দুই চলকবিশিষ্ট সরল সহসমীকরণ এর অন্তর্গত।
বাস্তবভিত্তিক সমস্যার সহসমীকরণ গঠন ও সমাধান
দৈনন্দিন জীবনে এমন কিছু গাণিতিক সমস্যা আছে যা সমীকরণ গঠনের মাধ্যমে সমাধান করা সহজতর হয়। এ জন্য সমস্যার শর্ত বা শর্তাবলি থেকে দুইটি অজ্ঞাত রাশির জন্য দুইটি গাণিতিক প্রতীক, প্ৰধানত চলক , y ধরা হয়। অজ্ঞাত রাশি দুইটির মান নির্ণয়ের জন্য দুইটি সমীকরণ গঠন করতে হয়। গঠিত সমীকরণদ্বয় সমাধান করলেই অজ্ঞাত রাশি দুইটির মান পাওয়া যায়।
উদাহরণ ১২.
দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির সাথে 5 যোগ করলে যোগফল হবে সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্কের তিনগুণ। আর সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যাবে, তা মূল সংখ্যাটি থেকে 9 কম হবে। সংখ্যাটি নির্ণয় কর।
সমাধান:
মনে করি, নির্ণেয় সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্ক এবং একক স্থানীয় অঙ্ক y। অতএব, সংখ্যাটি 10x+y
১ম শর্তানুসারে x + y + 5 = 3x ………. ( 1 )
এবং ২য় শর্তানুসারে, 10y + x = (10x + y) – 9……. (2)
সমীকরণ (1) থেকে পাই, y = 3x – x – 5, বা, y = 2x – 5 ………(3)
আবার, সমীকরণ (2) থেকে পাই,
10y-y+x-10x+9=0
বা, 9y – 9x + 9 = 0
বা, y – x + 1 = 0
বা, 2x – 5 – x + 1 = 0 [ (3) হতে y এর মান বসিয়ে পাই]
বা, x = 4
(3) এ x এর মান বসিয়ে পাই, y = 2 x 4 – 5 = 8 – 5=3
নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে 10x + y = 10 × 4 + 3 = 40 + 3 = 43
উদাহরণ ১৩.
আট বছর পূর্বে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের আটগুণ ছিল। দশ বছর পর পিতার বয়স পুত্রের বয়সের দ্বিগুণ হবে। বর্তমানে কার বয়স কত?
সমাধান:
মনে করি, বর্তমানে পিতার বয়স x বছর ও পুত্রের বয়স y বছর।
.:. ১ম শর্তানুসারে, x – 8 = 8 ( y – 8 ) ….. ( 1 )
এবং ২য় শর্তানুসারে, x + 10 = 2 ( y + 10 ) ……. (2)
(1) হতে পাই, x – 8 = 8y – 64
বা, x = 8y – 64 + 8
বা, x = 8y – 56 ….. (3)
(2) হতে পাই, x + 10 = 2y + 20
বা, 8y – 56 + 10 = 2y + 20 [ (3) হতে এর মান বসিয়ে]
বা, 8y – 2y = 20 + 56 – 10
বা, 6y = 66
বা, y = 11
(3) হতে পাই, x = 8 x 11 – 56 = 88 – 56 = 32
বর্তমানে পিতার বয়স 32 বছর ও পুত্রের বয়স 11 বছর।
উদাহরণ ১৪
একটি আয়তাকার বাগানের প্রস্থের দ্বিগুণ, দৈর্ঘ্য অপেক্ষা 10 মিটার বেশি এবং বাগানটির পরিসীমা 100 মিটার। বাগানটির সীমানার বাইরে চারদিকে 2 মিটার চওড়া রাস্তা আছে। রাস্তাটি ইট দিয়ে তৈরি করতে প্রতি বর্গ মিটারে 110 টাকা খরচ হয়।
ক) বাগানটির দৈর্ঘ্য x মিটার ও প্রস্থ y মিটার ধরে সমীকরণজোট গঠন কর।
খ) বাগানটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর।
গ) রাস্তাটি ইট দিয়ে তৈরি করতে মোট কত খরচ হবে?
সমাধান :
ক) আয়তাকার বাগানটির দৈর্ঘ্য x মিটার ও প্রস্থ y মিটার।
১ম শর্তানুসারে, 2y = x + 10 …… ( 1 )
এবং ২য় শর্তানুসারে, 2 (x + y) = 100 ……. (2)
খ) সমীকরণ (2) হতে পাই, 2x + 2y = 100
বা, 2x + x + 10 = 100 [(1) হতে 2y এর মান বসিয়ে ]
বা, 3x = 90
বা, x = 30
(1) হতে পাই, 2y = 30 + 10 [x এর মান বসিয়ে ]
বা, 2y = 40
বা, y = 20
বাগানটির দৈর্ঘ্য 30 মিটার ও প্রস্থ 20 মিটার।
গ) রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = (30 + 4) মি. এবং রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ = (20 + 4) মি. = 24 মি.
রাস্তার ক্ষেত্রফল = রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল – বাগানের ক্ষেত্রফল
= (34 x 24 – 30 x 20) বর্গমিটার।
= ( 816 – 600 বর্গমিটার।
= 216 বর্গমিটার।
ইট দিয়ে রাস্তা তৈরি করার খরচ = (216 x 110 ) টাকা = 23760 টাকা
উদাহরণ ১৫.
ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটা কতবার একটির উপরে আরেকটি বসে? সময়গুলো নির্ণয় কর।
সমাধান:
মনে করি, x টা y মিনিটে ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটা একটি আরেকটির উপরে বসে। মনে রাখতে হবে x (সুবিধার্থে x = 0, 1, …. 11 যেখানে 0 প্রকৃতপক্ষে 12 বোঝাবে) পূর্ণসংখ্যা হলেও y কিন্তু পূর্ণসংখ্যা নাও হতে পারে। আমরা জানি মিনিটের কাঁটা ঘণ্টার কাঁটার তুলনায় 12 গুণ বেশি দ্রুত চলে। x টার সময় ঘণ্টার কাঁটা ঠিক x লেখার উপরে এবং মিনিটের কাঁটা 12 এর উপরে ছিল। y মিনিটে ঘণ্টার কাঁটা এবং মিনিটের কাঁটা 4 ঘর অতিক্রম করবে। তাই
5x + y/12 = y
বা, y – y/12 = 5x
বা, 11/12 y = 5x
বা, y = 60/11x
এবার আমরা এর সম্ভাব্য মানগুলো বসিয়ে দেখি।
x = 0 হলে y = 0 মিনিট অর্থাৎ 12 টা।
x = 1 হলে 1 টা 55/11 মিনিট।
x = 2 হলে 2 টা 1010 /11 মিনিট।
…. …. ….
x = 11 হলে 11 টা 60 মিনিট বা 12 টা ।
প্রথম ও শেষ সময় দুইটি একই সময় বলে কাঁটা দুইটি 11 বার মিলিত হবে এবং সময়গুলো হলো x টা 60/11x মিনিট।
আরও দেখুনঃ