আজকে আমাদের আলোচনার বিষয়ঃ বীজগণিতীয় রাশির গ সা গু ও ল সা গু । এটি অষ্টম শ্রেনী গণিতের বীজগণিতীয় সূত্রাবলি ও প্রয়োগের অন্তর্গত।
বীজগণিতীয় রাশির গ সা গু ও ল সা গু
সপ্তম শ্রেণিতে অনূর্ধ্ব তিনটি বীজগণিতীয় রাশির সাংখ্যিক সহগসহ গ.সা.গু. ও ল.সা.গু. নির্ণয় সম্পর্কে সম্যক ধারণা দেওয়া হয়েছে । এখানে সংক্ষেপে এ সম্পর্কে পুনরালোচনা করা হলো ।
সাধারণ গুণনীয়ক :
যে রাশি দুই বা ততোধিক রাশির প্রত্যেকটির গুণনীয়ক, একে উক্ত রাশিগুলোর সাধারণ গুণনীয়ক (Common factor) বলা হয় । যেমন, ঐy, xy, xy, 5x রাশিগুলোর সাধারণ গুণনীয়ক হলো x ।
আবার, (a– b2), (a + b)2, (a + b3) রাশিগুলোর সাধারণ গুণনীয়ক (a + b)
গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু.)
দুই বা ততোধিক রাশির ভিতর যতগুলো মৌলিক সাধারণ গুণনীয়ক আছে, এদের সকলের গুণফলকে ঐ রাশিদ্বয় বা রাশিগুলোর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (Highest Common Factor) বা সংক্ষেপে গ.সা.গু. (H.C.E) বলা হয় । যেমন, a³b2c³, a5b³c4 ও a³b2c2 এই রাশি তিনটির গ.সা.গু. হবে।
আবার, (x + y)2, (x + y)³ ও (x2 – y2) এই তিনটি রাশির গ.সা.গু. (x + y)।
গ.সা.গু. নির্ণয়ের নিয়ম
প্রথমে পাটিগণিতের নিয়মে প্রদত্ত রাশিগুলোর সাংখ্যিক সহগের গ.সা.গু. নির্ণয় করতে হবে । এরপর বীজগণিতীয় রাশিগুলোর মৌলিক উৎপাদক বের করতে হবে । অতঃপর সাংখ্যিক সহগের গ.সা.গু. এবং প্রদত্ত রাশিগুলোর সর্বোচ্চ বীজগণিতীয় সাধারণ মৌলিক উৎপাদকগুলোর ধারাবাহিক গুণফলই হবে নির্ণেয় গ.সা.গু. ।
উদাহরণ ১।
9a³b2c2, 12a2bc ও 15ab³c³ এর গ.সা.গু. নির্ণয় কর ।
সমাধান :
9, 12, 15 এর গ.সা.গু. = 3
a³,a2,a এর গ.সা.গু = a
b2,b, b³ এর গ.সা.গু = b
c2,c,c³ এর গ.সা.গু = c
নির্ণেয় গ.সা.গু. = 3abc
উদাহরণ ২।
x³ – 2x, x2 – 4 ও xy – 2y এর গ.সা.গু. নির্ণয় কর ।
সমাধান :
এখানে, প্রথম রাশি = x³ -2x = x2(x-2)
দ্বিতীয় রাশি = x – 4 = (x + 2) (x – 2 )
তৃতীয় রাশি = xy – 2y = y (x – 2)
রাশিগুলোতে সাধারণ উৎপাদক (x – 2 ) এবং এর সর্বোচ্চ সাধারণ ঘাতযুক্ত উৎপাদক (x – 2)
গ.সা.গু. = (x – 2 )
উদাহরণ ৩।
x²y(x³ — y³), x²y²(x² + x²y² + y²) ও (x²y²+x²y³+xy4) এর গ.সা.গু. নির্ণয় কর ।
সমাধান :
এখানে, প্রথম রাশি =x²y(x³ — y³)
= x²y(x − y)(x² + xy + y²)
দ্বিতীয় রাশি =
= x²y²(x² +x²y²+y¹)
= x²y²{(x²)² + 2x²y² +(y²)² − x²y²}
= x²y²{(x² + y²)² – (xy)2}
= x²y²{(x² + y² + xy)(x² + y² − xy)}
= x²y²(x² + xy + y²)(x² − xy + y²)
তৃতীয় রাশি = x3y2 + x2y + xy’ = xy2(x2 + xy + y2)
এখানে, প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় রাশির সাধারণ উৎপাদক xy(x2+xy + y2)
গ.সা.গু.=xy(x + xy + y2)
সাধারণ গুণিতক :
কোনো একটি রাশি অপর দুই বা ততোধিক রাশি দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হলে, ভাজ্যকে ভাজকদ্বয় বা ভাজকগুলোর সাধারণ গুণিতক (Common Multiple) বলে । যেমন, a2b2c রাশিটি a, b, c, ab, bc, ca, a2b, ab2, a2c, b2c রাশিগুলোর প্রত্যেকটি দ্বারা বিভাজ্য । সুতরাং, a2b2c রাশিটি a, a, b, c, ab, bc, ca, a2b, a2c, ab2, b2c রাশিগুলোর সাধারণ গুণিতক । আবার, (a + b) 2 (a – b) রাশিটি (a + b), (a + b)2 ও (a – b2) রাশি তিনটির সাধারণ গুণিতক ।
লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু.)
দুই বা ততোধিক রাশির সম্ভাব্য সকল উৎপাদকের সর্বোচ্চ ঘাতের গুণফলকে রাশিগুলোর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (Least Common Multiple) বা সংক্ষেপে ল.সা.গু. (L.C.M.) বলা হয় ।
যেমন, x2y2z রাশিটি x2yz, xy2 ও xyz রাশি তিনটির ল.সা.গু. ।
আবার, (x+y)2(x-y) রাশিটি (x+y), (x+y)2 ও (x2 – y2) রাশি তিনটির ল.সা.গু. ।
ল.সা.গু. নির্ণয়ের নিয়ম
প্রথমে প্রদত্ত রাশিগুলোর সাংখ্যিক সহগের ল.সা.গু. নির্ণয় করতে হবে । এরপর সাধারণ উৎপাদকের সর্বোচ্চ ঘাত বের করতে হবে। অতঃপর উভয়ের গুণফলই হবে প্রদত্ত রাশিগুলোর ল.সা.গু.
উদাহরণ ৪।
4a2bc, 8ab2c ও 6a2b2c এর ল.সা.গু. নির্ণয় কর ।
সমাধান :
এখানে, 4, 8 ও 6 এর ল.সা.গু = 24
প্রদত্ত রাশিগুলোর সর্বোচ্চ সাধারণ ঘাতের উৎপাদক যথাক্রমে a, b, c
ল.সা.গু= 24a2b2c.
উদাহরণ ৫।
x3+x2y,x2y+xy2, x3 + y3 এবং (x + y) এর ল.সা.গু. নির্ণয় কর ।
সমাধান :
এখানে, প্রথম রাশি = x²+x²y= x²(x+y)
দ্বিতীয় রাশি = x²y+xy² = xy(x+y)
তৃতীয় রাশি = x³ + y³ = (x + y)(x² − xy + y²)
চতুর্থ রাশি = (x+y)³ =(x+y)(x+y)(x+y)
ল.সা.গু.= x²y(x+y)³(x² − xy + y²) = x²y(x+y)²(x³ + y³)
উদাহরণ ৬।
4(x2 + ax)2, 6( x³ – d x ) ও 14x³(x³ – a³) এর ল.সা.গু. নির্ণয় কর ।
সমাধাণ :
এখানে, প্রথম রাশি = 4(x + ax)2 = 2 × 2 × x2(x + a)2
দ্বিতীয় রাশি =6(x³-a²x)=2×3×x(x²-a²) = 2 × 3 × x(x+a)(x− a)
তৃতীয় রাশি = 14x³(x³-a³)=2×7 × x³(x− a)(x²+ ax + a²)
ল.সা.গু.= 2×2× 3 × 7 × x³(x + a)²(x − a) (x² + ax + a²)
= 84x³(x+a)²(x³- a³)