বীজগানিতিক রাশির চলক, ধ্রুবক ও বহুপদী

আজকে আমরা আলোচনা করবো  বীজগানিতিক রাশির চলক, ধ্রুবক ও বহুপদী । যা উচ্চতর গণিতের বীজগানিতিক রাশি অংশের অন্তর্গত।

 

 

বীজগানিতিক রাশির চলক, ধ্রুবক ও বহুপদী

যদি একটি প্রতীক একাধিক সদস্যবিশিষ্ট কোনো সংখ্যা সেটের যেকোনো অনির্ধারিত সদস্য নির্দেশ করে, তবে প্রতীকটিকে চলক বলা হয় এবং সেটটিকে এর ডোমেন বলা হয়। যদি প্রতীকটি একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা নির্দেশ করে, তবে একে ধ্রুবক বলা হয়। কোনো আলোচনায় একটি চলক এর ডোমেন থেকে যেকোনো মান গ্রহণ করতে পারে। কিন্তু একটি ধ্রুবকের মান কোনো আলোচনায় নির্দিষ্ট থাকে। বহুপদী বিশেষ ধরনের বীজগাণিতিক রাশি। এরূপ রাশিতে এক বা একাধিক পদ থাকে এবং পদগুলো এক বা একাধিক চলকের শুধু মাত্র অঋণাত্মক পূর্ণসাংখ্যিক ঘাত ও ধ্রুবকের গুণফল হয়।

 

 

এক চলকের বহুপদী

মনে করি, x একটি চলক। তাহলে, (i) a, (ii) ax+b, (iii) ax 2 +bx+c, (iv) aa3 + ba2 +cr+d ইত্যাদি আকারের রাশিকে চলকের বহুপদী বলা হয়, যেখানে, a, b, c, d ইত্যাদি ধ্রুবক। সাধারণভাবে, x চলকের বহুপদীর পদসমূহ cxP আকারের হয়, যেখানে c একটি x-বর্জিত নির্দিষ্ট সংখ্যা (যা শূন্য ও হতে পারে) এবং p একটি অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা। p শূন্য হলে পদটি শুধু c হয় এবং c শূন্য হলে পদটি বহুপদীতে অনুল্লেখ থাকে।

কোনো বহুপদীর সাধারণ পদ cxp এ c কে XP এর সহগ (coefficient) এবং p কে এই পদের মাত্রা বা ঘাত (degree) বলা হয়। কোনো বহুপদীতে উল্লিখিত পদসমূহের গরিষ্ঠ মাত্রাকে বহুপদীটির মাত্রা বলা হয়। বহুপদীতে গরিষ্ঠ মাত্রাযুক্ত পদটিকে মুখ্যপদ ও মুখ্যপদের সহগকে মুখ্য সহগ এবং 0 মাত্রাযুক্ত অর্থাৎ, চলক-বর্জিত পদটিকে ধ্রুবপদ বলা হয়।

যেমন, 2x^6 – 3x^5 – x^4 + 2x – 5, চলকের একটি বহুপদী, যার মাত্রা 6, মুখ্যপদ 2x^6, মুখ্য সহগ 2 এবং ধ্রুবপদ – 5। a ≠ 0 হলে, পূর্বোক্ত (i) বহুপদীর মাত্রা 0, (ii) বহুপদীর মাত্রা 1, (ii) বহুপদীর মাত্রা 2 এবং (iv) বহুপদীর মাত্রা 3। যেকোনো অশূন্য ধ্রুবক (a ≠0) প্রদত্ত যেকোনো চলকের 0 মাত্রার বহুপদী (a = ax° বিবেচ্য)। 0 সংখ্যাটিকে শূন্য বহুপদী বিবেচনা করা হয় এবং শূন্য বহুপদীর মাত্রা অসংজ্ঞায়িত ধরা হয়।

x চলকের বহুপদীকে সাধারণত x এর ঘাতের অধঃক্রমে (অর্থাৎ, মুখ্যপদ থেকে শুরু করে ক্রমে ক্রমে ধ্রুব পদ পর্যন্ত) বর্ণনা করা হয়। এরূপ বর্ণনাকে বহুপদীটির আদর্শ রূপ (standard form) বলা হয়। ব্যবহারের সুবিধার্থে চলকের বহুপদীকে P(x), Q(x) ইত্যাদি প্রতীক দ্বারা সূচিত করা হয়। যেমন, P(x) = 2x^2 + 7x + 5। এরূপ P(x) প্রতীকে এর উপর বহুপদীটির মানের নির্ভরতা নির্দেশ করে। P(x) বহুপদীতে x চলকের পরিবর্তে কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যা a বসালে বহুপদীটির যে মান পাওয়া যায়, I একে P(a) দ্বারা সূচিত করা হয়।

উদাহরণ ১.

যদি P(x) = 3x^3 + 2x^2 – 7x + 8 হয়, তবে P(2), P( 2 ) এবং P মান নির্ণয় কর। (2) এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান: প্রদত্ত বহুপদীতে x এর পরিবর্তে 2, -2, 1/2 বসিয়ে পাই,

P(2) = 3(2^3) + 2(2^2) -7(2) + 8 = 26

P(-2)=3(-2)^3 + 2(-2)^² -7(-2)+8=6
P (1/2) = 3 ( 1/2 ) + 2 ( 1/2) -7(1/2) +8= 43/8

 

 

দুই চলকের বহুপদী

নিচের বহুপদীগুলো x ও y চলকের অর্থাৎ দুই চলকের বহুপদী।

2x + 3y – 1

x²-4xy+y2-5x + 7y+1

8×3 + y3 + 10x2y + 6xy2 – 6x + 2

সাধারণভাবে এরূপ বহুপদীর পদগুলো cxy? আকারের হয় যেখানে c একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা (ধ্রুবক) এবং p ও g অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা। Copy? পদে c হচ্ছে XP y এর সহগ এবং p+ q হচ্ছে এই পদের মাত্রা। এরূপ বহুপদীতে উল্লিখিত পদসমূহের গরিষ্ঠ মাত্রাকে বহুপদীটির মাত্রা বলা হয়। এরূপ বহুপদীকে P(x,y) আকারের প্রতীক দ্বারা সূচিত করা হয়। যেমন, P(x, y) = 8x^3 + y^3 – 4x^2 + 7xy + 2y – 5 বহুপদীর মাত্রা 3 এবং P ( 1, 0 ) = 8 – 4 – 5=-1।

 

 

তিন চলকের বহুপদী

X, Y ও Z চলকের বহুপদীর পদগুলো Cx^Py^qz^r আকারের হয়। যেখানে c (ধ্রুবক) পদটির সহগ এবং p, g, r অঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা। এখানে p+q+r কে এই পদের মাত্রা এবং বহুপদীতে উল্লিখিত পদসমূহের গরিষ্ঠ মাত্রাকে বহুপদীটির মাত্রা বলা হয়। এরূপ বহুপদীকে P(x, y, z) আকারের প্রতীক দ্বারা সূচিত করা হয়। যেমন, P(x, y, 2) = x^3 + y^3 + z^3 – 3xyz বহুপদীর মাত্রা 3 এবং P ( 1, 1, -2) = 1+1-8+ 6 = 0