আজকে আমরা বৃত্ত সংক্রান্ত কতিপয় সম্পাদ্য সম্পর্কে আলোচনা করবো । যা উচ্চতর গণিতের জ্যামিতিক অঙ্কন অংশের অন্তর্গত।
বৃত্ত সংক্রান্ত কতিপয় সম্পাদ্য
সম্পাদ্য ৫.
এমন একটি বৃত্ত অঙ্কন করতে হবে যা দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায় এবং যার কেন্দ্র একটি নির্দিষ্ট সরলরেখায় অবস্থিত থাকে।
A ও B দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু এবং PQ একটি নির্দিষ্ট সরলরেখা। এমন একটি বৃত্ত অঙ্কন করতে হবে যা A ও B বিন্দু দিয়ে যায় এবং যার কেন্দ্র PQ সরলরেখার উপর অবস্থান করে।
অঙ্কন:
ধাপ ১.
A, B যোগ করি।
ধাপ ২.
AB রেখাংশের সমদ্বিখণ্ডক CD অঙ্কন করি।
ধাপ ৩.
CD রেখাংশ PQ রেখাকে O বিন্দুতে ছেদ করে।
ধাপ ৪.
O কে কেন্দ্র করে OA বা OB ব্যাসার্ধ নিয়ে ABNM বৃত্ত অঙ্কন করি। যা নির্ণেয় বৃত্ত।
প্রমাণ:
CD রেখা AB রেখার লম্বদ্বিখণ্ডক। সুতরাং CD রেখাস্থ যেকোনো বিন্দু A ও B থেকে সমদূরবর্তী। অঙ্কনানুসারে, O বিন্দুটি CD ও PQ এর উপর অবস্থিত। আবার, OA ও OB সমান বলে O কে কেন্দ্র করে OA বা OB ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকলে বৃত্তটি A ও B বিন্দু দিয়ে যাবে এবং বৃত্তের কেন্দ্র O বিন্দুটি PQ রেখার ওপর অবস্থান করবে। … O কে কেন্দ্র করে OA বা OB ব্যাসার্ধ নিয়ে অঙ্কিত বৃত্তই নির্ণেয় বৃত্ত।
সম্পাদ্য ৬.
একটি নির্দিষ্ট রেখাংশের সমান ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্ত অঙ্কন করতে হবে যা দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায়।
A ও B দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু এবং একটি নির্দিষ্ট রেখাংশের দৈর্ঘ্য। এমন একটি বৃত্ত অঙ্কন করতে হবে যা A ও B বিন্দু দিয়ে যায় এবং যার ব্যাসার্ধ r এর সমান হয়।
অঙ্কন :
ধাপ ১.
A ও B যোগ করি।
ধাপ ২.
A ও B কে কেন্দ্র করে r এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে AB এর উভয় পাশে দুইটি করে বৃত্তচাপ আঁকি। এক পাশের বৃত্তচাপ দুইটি পরস্পরকে P বিন্দুতে এবং অপর পাশের বৃত্তচাপ দুইটি পরস্পরকে Q বিন্দুতে ছেদ করে।
ধাপ ৩.
P কে কেন্দ্র করে PA ব্যাসার্ধ নিয়ে ABC বৃত্ত অঙ্কন করি।
ধাপ ৪.
আবার Q কে কেন্দ্র করে QA ব্যাসার্ধ নিয়ে ABD বৃত্ত অঙ্কন করি।
ধাপ ৫.
তাহলে ABC ও ABD বৃত্ত দুইটির প্রত্যেকটিই নির্ণেয় বৃত্ত।
প্ৰমাণ:
PA PB = r। .. P কে কেন্দ্র করে PA বা PB ব্যাসার্ধ নিয়ে অঙ্কিত ABC বৃত্ত A = ও B বিন্দু দিয়ে যায় এবং ব্যাসার্ধ PA = r হয়।
আবার_QA = QB = r Q কে কেন্দ্র করে QA বা QB ব্যাসার্ধ নিয়ে অঙ্কিত ABD বৃত্ত A ও B বিন্দু দিয়ে যায় এবং ব্যাসার্ধ QA = r হয়।
.:. ABC ও ABD বৃত্ত দুইটির প্রতিটিই উদ্দিষ্ট বৃত্ত।
সম্পাদ্য ৭.
এরূপ একটি বৃত্ত অঙ্কন করতে হবে যা একটি নির্দিষ্ট বৃত্তকে নির্দিষ্ট বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায়।
মনে করি, নির্দিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র C, P ঐ বৃত্তের উপর অবস্থিত একটি নির্দিষ্ট বিন্দু এবং Q ঐ বৃত্তের বহিঃস্থ একটি নির্দিষ্ট বিন্দু। এরূপ একটি বৃত্ত অঙ্কন করতে হবে যা ঐ বৃত্তকে P বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং Q বিন্দু দিয়ে যায়।
অঙ্কন:
ধাপ ১.
P, Q যোগ করি।
ধাপ ২.
PQ এর লম্বদ্বিখণ্ডক AB আঁকি।
ধাপ ৩.
C, P যোগ করি।
ধাপ ৪
বর্ধিত CP রেখাংশ AB কে O বিন্দুতে ছেদ করে।
ধাপ ৫.
O কে কেন্দ্র করে OP এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে অঙ্কিত PQR বৃত্তই উদ্দিষ্ট বৃত্ত।
প্রমাণ:
0. Q যোগ করি। AB রেখাংশ বা OB রেখাংশ PQ এর লম্বদ্বিখণ্ডক।
OP = OQ
সুতরাং O কে কেন্দ্র করে OP ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকলে তা Q বিন্দু দিয়ে যাবে।
আবার P বিন্দুটি দুইটি বৃত্তের কেন্দ্রদ্বয়ের সংযোজক রেখার ওপর অবস্থিত এবং P বিন্দু উভয় বৃত্তের উপর অবস্থিত। অর্থাৎ P বিন্দুতে বৃত্তদ্বয় মিলিত হয়েছে। সুতরাং বৃত্তদ্বয় P বিন্দুতে স্পর্শ করে।
সুতরাং O কে কেন্দ্র করে OP ব্যাসার্ধ নিয়ে অঙ্কিত বৃত্তই উদ্দিষ্ট বৃত্ত।
সম্পাদ্য ৮
এরূপ একটি বৃত্ত অঙ্কন করতে হবে যা একটি নির্দিষ্ট সরলরেখাকে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং রেখার বহিঃস্থ কোনো বিন্দু দিয়ে যায়।
মনে করি, AB সরলরেখাস্থ A একটি নির্দিষ্ট বিন্দু এবং AB রেখার বহিঃস্থ P অপর একটি নির্দিষ্ট বিন্দু। এরূপ একটি বৃত্ত আঁকতে হবে যা AB কে A বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং P বিন্দু দিয়ে যায়।
অঙ্কন:
ধাপ ১.
AB এর উপর A বিন্দুতে AC লম্ব অঙ্কন করি।
ধাপ ২.
P, A যোগ করে তার লম্বদ্বিখণ্ডক QR অঙ্কন করি।
ধাপ ৩.
QR এবং AC রেখাদ্বয় O বিন্দুতে ছেদ করে।
ধাপ ৪.
O কে কেন্দ্র করে OA ব্যাসার্ধ নিয়ে APS বৃত্ত অঙ্কন করি। তাহলে APS ই উদ্দিষ্ট বৃত্ত
প্রমাণ:
O, P যোগ করি। AP রেখার লম্বদ্বিখণ্ডক QR এর উপর O অবস্থিত।
OA = OPI
0 কে কেন্দ্র করে OA ব্যাসার্ধ নিয়ে অঙ্কিত বৃত্ত P বিন্দু দিয়ে যায়। আবার OA ব্যাসার্ধ রেখার A প্রান্ত বিন্দুতে AB এর ওপর AO লম্ব।
AB রেখাংশ বৃত্তটিকে A বিন্দুতে স্পর্শ করে।
O কে কেন্দ্র করে OA ব্যাসার্ধ নিয়ে অঙ্কিত বৃত্তটিই নির্ণেয় বৃত্ত।
বিশ্লেষণ:
যেহেতু বৃত্তটি নির্দিষ্ট রেখাকে নির্দিষ্ট বিন্দুতে স্পর্শ করে, সুতরাং নির্দিষ্ট রেখার নির্দিষ্ট বিন্দুতে লম্ব আঁকতে হবে এবং এই লম্বই বৃত্তের একটি ব্যাস হবে। আবার ঐ রেখাস্থ নির্দিষ্ট বিন্দু ও বহিঃস্থ নির্দিষ্ট বিন্দু উভয়েই বৃত্তের পরিধির ওপরে থাকবে বিধায় এই বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখার লম্বদ্বিখণ্ডক কেন্দ্র দিয়ে যাবে। তাহলে এই লম্বদ্বিখণ্ডক ও পূর্বাঙ্কিত ব্যাসের ছেদবিন্দু বৃত্তের কেন্দ্র হবে।
উদাহরণ ৩.
2 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে.মি. দূরে কোনো নির্দিষ্ট বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয়ের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
সমাধান: 2 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র O এবং নির্দিষ্ট P থেকে O বিন্দুর দূরত্ব 5 সে.মি.। P বিন্দু থেকে উক্ত বৃত্তে স্পর্শক অঙ্কন করে তার দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হবে।
ধাপ ১.
OP রেখাকে দ্বিখণ্ডিত করি। ধরি, দ্বিখণ্ডন বিন্দু M।
ধাপ ২.
M কে কেন্দ্র করে OM ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আঁকি যা O কেন্দ্রিক বৃত্তের Q এবং R বিন্দুতে ছেদ করে।
ধাপ ৩.
P, Q এবং P, R যোগ করি। তাহলে PQ এবং PR-ই নির্ণেয় স্পর্শক।
এখন, PQ ও PR কে পরিমাপ করে পাই, PQ = PR = 4.6 সে.মি.
আরও দেখুনঃ
2 thoughts on “বৃত্ত সংক্রান্ত কতিপয় সম্পাদ্য”