আজকে আমাদের আলোচনার বিষয়ঃ ভগ্নাংশের ভাগ । এটি অষ্টম শ্রেনী গণিতের বীজগণিতীয় ভগ্নাংশের অন্তর্গত।
ভগ্নাংশের ভাগ
একটি ভগ্নাংশকে অপর একটি ভগ্নাংশ দ্বারা ভাগ করার অর্থ প্রথমটিকে দ্বিতীয়টির গুণাত্মক বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করা ।
উদাহরণস্বরূপ, x/y কে z/y দ্বারা ভাগ করতে হবে,
তাহলে x/y ÷ z/y
= x/y x y/z [এখানে y/z হলো z/y এর গুণাত্মক বিপরীত ভগ্নাংশ]
= x/z
উদাহরণ ৯ ।
ভাগ কর :
(ক) a3b2/c2d কে a2b3/cd3 দ্বারা
(খ) 12a4x3y2/10x4y3z2 কে 6a3b2c/5x2y2z2 দ্বারা
(গ) (a²-b²)/(a2 + ab + b2) কে (a+b)/(a3 – b3) দ্বারা
(ঘ) (x3 – 27)/(x2 – 7x + 6) কে (x2 – 9)/(x2 – 36) দ্বারা
(ঙ) (x³ – y³)/(x3 + y3) কে (x2 – y2) /(x + y)2 দ্বারা
সমাধান :
(ক) ১ম ভগ্নাংশ = a3b2/c²d
২য় ভগ্নাংশ = a2b3/cd3
২য় ভগ্নাংশের গুণাত্মক বিপরীত হলো cd3/a2b3
a3b2/c2d ÷ a2b3/cd3
= a³b²/c2d x cd³/a2b3
.:. নির্ণেয় ভাগফল = a3b2cd³/a²b³c2d = ad2/bc
(খ) 12a4x³y2/10x4y³z2 ÷ 6a3b2c/5x2y2z2
= 12a4x³y²/10x4y³z2 x 5x²y²z²/6a3b2c
… নির্ণেয় ভাগফল = axy /b2c
(গ) (a²-b2)/(a²+ab+b²) ÷ (a+b)/(a³-b³)
= (a+b)(a-b)/(a²+ab+b²) x (a−b)(a²+ab+b²)/a+b
= (a – b)(a – b)
:. নির্ণেয় ভাগফল = (a – b)2
(ঘ) (x³-27)/(x²-7x+6) ÷ (x²-9)/(x²-36)
= (x³-33)/(x²-6² -x +6) x (x²-62)/(x²-32)
= (x −3)(x² + 3x+3²)/(x+6)(x−6) x (x+6)(x-6)/(x+3)(x-3)
:. নির্ণেয় ভাগফল = (x²+3x+9)(x+6)/(x-1)(x+3)
(ঙ) (x³ – y³)/(x3 + y3) ÷ (x2 – y2) /(x + y)2
= (x − y)(x² + xy + y²)/(x + y)(x² − xy + y²) x (x + y)² /(x + y)(x − y)
.:. নির্ণেয় ভাগফল = (x² + xy + y²)/(x² – xy + y²)
উদাহরণ ১০। সরল কর :
(ক) (1+1/x) ÷ (1-1/x²)
(খ) (x/(x + y) + y /(x-y )) ÷ x/(x-y ) – y/(x+y))
(গ) a³+b³/(a – b)²+3ab ÷ (a+b)² – 3ab/(a³-b³) x (a+b)/(a-b)
(ঘ) (x²+3x-4)/(x²-7x+12) ÷ (x²-16)/(x²-9) x (x − 4)² /(x-1)²
(ঙ) x3+ y³ +3xy(x+y)/(x + y)² – 4xy ÷ (x-y)2+4xy/(x³-y³-3xy(x-y))
সমাধান :
(ক) (1+1/x) ÷ (1-1/x²)
= (x+1)/x ÷ (x²-1)/x²
= (x + 1)/x x x2/(x+1)(x-1)
= x/(x + 1)
(খ) (x/(x + y) + y /(x-y )) ÷ x/(x-y ) – y/(x+y))
= (x² − xy + xy + y²)/(x + y)(x − y) ÷ (x² + xy − xy + y²)/(x − y)(x + y)
= ( x² + y²)/(x² − y²) ÷ (x² + y²)/(x² − y²)
= ( x² + y²)/(x² − y²) x (x² − y²)/( x² + y²)
= 1
(গ) a³+b³/(a – b)²+3ab ÷ (a+b)² – 3ab/(a³-b³) x (a+b)/(a-b)
= (a+b)(a² − ab+b²)/(a² +2ab+b² −3ab) ÷ (a² -2ab+b² +3ab)/(a−b)(a² +ab+b²) x (a+b)/(a-b)
= (a+b)(a² − ab+b²)/(a² +ab+b²) x (a−b)(a² +ab+b²)/(a² – ab+b²) x (a+b)/(a-b)
= (a+b)(a+b)
=(a+b)²
(ঘ) (x²+3x-4)/(x²-7x+12) ÷ (x²-16)/(x²-9) x (x − 4)² /(x-1)²
= (x²+4x-x-4)/(x²-3x-4x+12) x ( x²-32)/(x² – 4²) x (x−4)²/(x-1)2
= (x+4)(x − 1)/(x-3)(x-4) x (x+3)(x − 3)/(x+4)(x −4) x (x-4)²/(x − 1)²
= (x+3)/(x − 1)
(ঙ) x3+ y³ +3xy(x+y)/(x + y)² – 4xy ÷ (x-y)2+4xy/(x³-y³-3xy(x-y))
= (x + y)³/(x + y)² ÷ (x+y)2/(x-y)3
= (x + y)³/(x − y)³ x (x-y)3/(x+y)²
= (x + y)(x − y)
= x² – y2
আরও দেখুনঃ