ভেক্টর যোগের বিধিসমূহ

আজকে আমরা ভেক্টর যোগের বিধিসমূহ আলোচনা করবো। যা উচ্চতর গণিতের  সমতলীয় ভেক্টর অংশের অন্তর্গত।

 

 

ভেক্টর যোগের বিধিসমূহ

u ও v দুইটি ভেক্টর। v এর আদিবিন্দু u এর প্রান্তবিন্দু স্থাপন করলে, u এর আদিবিন্দু থেকে v এর প্রান্তবিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ হলো ভেক্টর u ও v এর যোগফল একে u+v দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

পাটিগণিতের যোগের মতোই ভেক্টরের যোগে বিনিময়, সংযোগ, ও বর্জন বিধি ব্যবহার করা যায়।

ভেক্টর যোগের বিনিময় বিধি (Commutative law) :

যেকোনো u, v ভেক্টরের জন্য u+v = v+u।

 

প্রমাণ:

মনে করি, OA =u এবং OB = v । OACB সামান্তরিক ও তার কর্ণ OC অঙ্কন করি।

OA ও BC সমান ও সমান্তরাল এবং OB ও AC সমান ও সমান্তরাল।

OC = OA + AC = u + v । আবার, OC = OB + BC = OB+OA = v + u

u + v = v + u।

সুতরাং ভেক্টর যোগ বিনিময় বিধি সিদ্ধ করে।

ভেক্টর যোগের সংযোগ বিধি (Associative law) :

যেকোনো u, v, w ভেক্টরের জন্য

(u+v) + w = u + (v+w)

 

 

প্রমাণ:

মনে করি, OA = u, AB = v, BC = w অর্থাৎ u এর প্রান্তবিন্দু থেকে v এবং v এর প্রান্তবিন্দু থেকে w অঙ্কন করা হয়েছে। O, C; O, B এবং A, C যোগ করি।

তাহলে (u + v) + w = (OA + AB) + BC = OB + BC = OC

আবার, u + ( v + w) = 0A + (AB + BC) = OA + AC = OC

∴ (u + v ) + w = u + ( v + w )। সুতরাং ভেক্টর যোগ সংযোগ বিধি সিদ্ধ করে।

 

 

অনুসিদ্ধান্ত ১

কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুর একই ক্রম দ্বারা সূচিত ভেক্টরত্রয়ের যোগফল শূন্য ভেক্টর।

উপরের চিত্রে, OB + BA + AO = OA + AO = -AO + AO = 0

ভেক্টর যোগের বর্জন বিধি (Cancellation law) :

যেকোনো u, v, w ভেক্টরের জন্য u + v = u + w হলে v = w হবে।

 

প্রমাণ:

যেহেতু  u+ v = u + w

u+v+(-u) = u+w+(-u) [উভয়পক্ষে u — যোগ করে]

u-u+v = u−u+w    অর্থাৎ v = w

আরও দেখুনঃ

• দ্বিপদী উপপাদ্য