মূলদ ভগ্নাংশ

আজকের আলোচনার বিষয়ঃ মূলদ ভগ্নাংশ । যা উচ্চতর গণিতের বীজগানিতিক রাশি অংশের অন্তর্গত।

 

 

মূলদ ভগ্নাংশ

একটি বহুপদীকে হর এবং একটি বহুপদীকে লব নিয়ে গঠিত ভগ্নাংশকে মূলদ ভগ্নাংশ বলা হয়। যেমন

x/(x − a) (x – b)  এবং (a² + a +1)/(a – b)(a – c) মূলদ ভগ্নাংশ।

উদাহরণ ১৯.

সরল কর: 

a/(a − b)(a — c) +b /(b − c)(b − a) + c/(c − a)(c – b)

সমাধান :

a/(a − b)(a — c) +b /(b − c)(b − a) + c/(c − a)(c – b)

= – a/(a − b)(a — c) – b /(b − c)(b − a) – c/(c − a)(c – b)

= a(b−c)+b(ca) + c(a – b) /-(a – b)(b−c)(c− a)

= 0/ (a – b)(b − c)(c − a) = 0

 

 

উদাহরণ ২০.

সরল কর:

a² – (b-c)²/(a+c)2 – b2 + b2 (c-a)2/(a + b)2 – c² + c² – (a – b)²/(b+c)2 – a²

সমাধান:

প্রথম ভগ্নাংশ = (a+b−c)(a−b+c)/ (a+b+c)(a−b+c) = (a+b-c)/(a+b+c)

দ্বিতীয় ভগ্নাংশ = (a+b-c)(b-a+c)/(a+b+c)(a+b-c) =  (b+c-a)/(a+b+c)

তৃতীয় ভগ্নাংশ = (c + a−b) (c− a+b)/(a+b+c)(b+c-a) = (c+a-b)/(a+b+c)

প্রদত্ত রাশি = (a+b-c)/(a+b+c) + (b+c-a)/(a+b+c) +  (c+a-b)/(a+b+c)

( a+b-c+b+c-a+c+a-b)/(a+b+c)

= (a+b+c) /(a+b+c)c

= 1

 

 

উদাহরণ ২১.

সরল কর:

(ax + 1)²/ (x − y)(z – x)+ (ay + 1)2/ (x − y) (y – z)+ (az + 1)2 / y-z)(z – x)

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি = (ax + 1)²/ (x − y)(z – x)+ (ay + 1)2/ (x − y) (y – z)+ (az + 1)2 / y-z)(z – x)

= (ax + 1)²(y – z) + (ay + 1)2(z – x)  + (az + 1)2(x − y) / (y-z) (y-z)(z – x) …… (1)

এখানে (1) এর লব

(a²x²+2ax+1)(y-2)+(a²y²+2ay+1)(z−x)+(a²x²+2az+1)(x − y)

=a2{x²(y-2)+ y² (z−x)+z² (x − y)} + 2a{x(y-2)+y(z-x)+z(x−y)} + {(y − z) + (x − x) + (x − y)}

কিন্তু, x²(y-z) + y² ( z − x) + z² (x − y) = – (x − y) (y − z)(x − x)

তদুপরি, x(y-2) + y(x − x) + z(x − y) = 0 এবং  (y − z) + ( z − x) + (x − y) = 0 1

.. (1)  এর লব -a²(x − y) (y − z)(z − x)

সুতরাং প্রদত্ত রাশি = -a²(x – y) (y-z)(x − x)/ (x – y) (y – z)(z – x) = -a2

 

 

উদাহরণ ২২.

সরল কর:

1/(x + a)  + 2x/(x² + a2) + 4×3/(x4 +a4) +  8×7 /(a8 – x8)

সমাধান:

প্রদত্ত রাশির তৃতীয় ও চতুর্থ পদের যোগফল

= 4×3/(x4 +a4) +  8×7 /(a8 – x8) = 4×3/(x4 +a4) +  8×7 /(x4 +a4)(x4 -a4)

= 4×3/(x4 +a4)/( 1+ 2×4/(a4 – x4)

=4×3/(x4 +a4) = (a4 – x4 + 2×4)/(a4 – x4)

=4×3/(x4 +a4) x (x4 +a4)(a4 – x4 )

= 4×3/(a4 – x4 )

দ্বিতীয়, তৃতীয় এবং চতুর্থ পদের যোগফল

= 2x/(x² + a2) + 4×3/(a4 – x4 ) =  2x/(x² + a2) + = [1+ 2×2/(a2 – x²)]

= 2x/(x² + a2) x (a2 – x²+ 2×2)/(a2 – x²)

= 2x/(x² + a2) x (a2 + x2)/(a2 – x²)

= 2x/(a2 – x²)

 প্রদত্ত রাশি 

= 1/|(x+a) + 2x/(a² – x2)

= (a-x+2x)/(a² – x2)

= (a + x )/(a² – x2)

= 1/(a-x)