মূলদ ভগ্নাংশ সূচক

আজকে আমরা  মূলদ ভগ্নাংশ সূচক সম্পর্কে  আলোচনা করবো  । যা উচ্চতর গণিতের  সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন অংশের অন্তর্গত।

 

 

মূলদ ভগ্নাংশ সূচক

সংজ্ঞা ৫:

a∈ R এবং nEN, n > 1 হলে, a1/n  = n√a যখন a > 0 অথবা a < 0 এবং n বিজোড় ।

মন্তব্য:

সূচক নিয়ম (am)n = amn [সূত্র ৬]

যদি সকল ক্ষেত্রে সত্য হতে হয়, তবে (a1/n)n = an/n = a হতে হবে, অর্থাৎ a1/n এর n = তম মূল হতে হবে। এজন্য একাধিক মূলের ক্ষেত্রে দ্ব্যর্থতা পরিহারের লক্ষে উপরের সংজ্ঞা বর্ণনা করা হয়েছে।

মন্তব্য:

a < 0 এবং n E N, n > 1 বিজোড় হলে সূত্র ৭ থেকে দেখা যায় যে

a1/n = n√a = – n√ |a| = – |a|1/n

এরূপ ক্ষেত্রে এই সূত্রের সাহায্যেই a এর মান নির্ণয় করা হয়।

মন্তব্য:

a. মূলদ সংখ্যা হলেও অধিকাংশ ক্ষেত্রে a1/n অমূলদ সংখ্যা হয়। এরূপ ক্ষেত্রে a1/n এর আসন্ন মান ব্যবহার করা হয়।

সংজ্ঞা ৬:

a > 0,m E Z এবং n EN, n > 1 হলে am/n  = (a1/n)m

দ্রষ্টব্য:

সংজ্ঞা ৫ ও ৬ এবং সূত্র ৮ থেকে দেখা যায় যে,

am/n = ( n√a)m = n√am যেখানে, a > 0 m E Z এবং, n ∈ N,n > 1

সুতরাং, p∈ Z এবং q ∈ Z, n > 1 যদি এমন হয় যে, m/n = p /q হয়, তবে সূত্র ৯ থেকে দেখা যায় যে, am/n = ap /q

দ্রষ্টব্য:

পূর্ণসংখ্যক সূচক ও মূলদ ভগ্নাংশ সূচকের সংজ্ঞা থেকে ar এর ব্যাখ্যা পাওয়া যায়, যেখানে a > 0 এবং r ∈ Q । উপরের আলোচনা থেকে দেখা যায় যে, a > 0 হলে, r  কে বিভিন্ন সমতুল ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা হলেও ar এর মানের কোনো তারতম্য হয় না ।

দ্রষ্টব্য:

সূত্র ৬ এ বর্ণিত সূচক নিয়মগুলো সাধারণভাবে যেকোনো সূচকের জন্য সত্য হয়।

 

 

সূত্র ১০.

a > 0, b > 0 এবং r, s EQ হলে

ক) ar . as =  ar+a

খ) ar/as = ar-a

গ) (ar)s = ars

ঘ) (ab)r = arbr

ঙ) (a/b)r = ar/br

(ক) ও (ঘ) এর পুনঃপুন প্রয়োগের মাধ্যমে দেখা যায় যে,

অনুসিদ্ধান্ত ২.

ক) a > 0 এবং r1,r2, …………rk EQ হলে,

ar1.ar2a. r3 ……………ark.

খ) a1 > 0, a2 > 0, ………….an > 0 এবং r EQ হলে (a1. a2……..an)r = a1r.a2ra. a3r ……………anr.

উদাহরণ ৮.

দেখাও যে, am/n . ap/q = a(m+n)/(p+q)

যেখানে, a > 0;m,pE Z;n,qE N,n> 1,q>1.

সমাধান :

m/n ও ap/q কে সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে পরিণত করে দেখা যায় যে,

am/n . ap/q = amq/nq . anp/nq = (a1/nq)mq . (a1/nq)np [সংজ্ঞা ৬ ব্যবহার করে]

= (a1/nq) mq+np [সূত্র ৬]

= a(mq+np)/nq

= a(mq/nq)+(np/nq)

= a(m/n)+(p/q)

কয়েকটি প্রয়োজনীয় তথ্য :

(i) যদি ax = 1 হয়, যেখানে a > 0 এবং a ≠ 1, তাহলে x = 0

(ii) যদি a= 1 হয়, যেখানে a > 0 এবং x ≠ 0, তাহলে a = 1

(iii) যদি ax= ay হয়, যেখানে a > 0 এবং a = 1, তাহলে x = y

(iv) যদি ax = by হয়, যেখানে > 0 এবং x ≠ 0, তাহলে a = b

 

 

উদাহরণ ৯.

যদি ax = b, b = c এবং + = a হয়, তবে দেখাও যে, xyz = 1.

সমাধান:

প্রদত্ত শর্ত হতে, b = ax, c = by এবং a =cz ,

b = ax = (cz)x = czx = (by)zx

বা, b = bxyz বা, b1 = brur

xyz = 1

উদাহরণ ১০.

যদি ab = ba হয়, তবে দেখাও যে, = (a/b)a/b = a (a/b-1 )এবং এ থেকে প্রমাণ কর যে,
a = 2b হলে, b = 2

সমাধান:

দেওয়া আছে, ab = ba

b= (ab)1/a = (a)b/a

বামপক্ষ = – (a/b)a/b = (a/ab/a )a/b

= (a¹ · a¯b/a)a/b

= aa/b. a-¹ .

= aa/b-¹

= ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

পুনরায়, a = 26 হলে

26 = (26)-1

বা, (2) 2 = (26) 2-1 বা, 4 = 26

.. b = 2 (প্রমাণিত)

উদাহরণ ১১.

যদি  xx√x = (x√x)x   হয়, তবে x এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান:

দেওয়া আছে, xx√x = (x√x)x

x(x)√x = (x · x1/2)x = (x¹+1/2)x = (x3/4)x = (xx)3/2

(xx)√x = (xx)3/2

বা,√x = 3/2

বা, x = (3/2)2 = 9/4

 

 

উদাহরণ ১২.

যদি ax = by = cz এবং b2 = ac হয়, তবে প্রমাণ কর যে,  1/x+1/z = 2/y

সমাধান:

দেওয়া আছে, ax = by  বা, a = by/x

আবার, cz = by

বা, c = by/z

এখন, b2 = ac,

b² = by/x. by/z = by/x+y/z

বা, 2 = y/x+y/z

বা, 2/y = 1/x+1/z  [উভয়পক্ষকে y দ্বারা ভাগ করে]

1/x+1/z  = 2/y(প্রমাণিত)

উদাহরণ ১৩. প্রমাণ কর যে, = (xb/xc)b+c x (xc/xa) c+a x (xa/xb)a+b = 1

সমাধান:

বামপক্ষ (xb/xc)b+c x (xc/xa) c+a x (xa/xb)a+b

= (xb-c)b+c x (xc-a) c+a x (xa-b)a+b

= xb²-c² × xc²-a²  x xa²-b²

= xb²-c²+c²-a²+a²-b²

= x° = 1 = ডানপক্ষ

উদাহরণ ১৪

যদি a1/x= b1/y = c1/z এবং abc = 1 হয়, তবে দেখাও যে, x + y + z= 0.

সমাধান:

ধরি,a1/x= b1/y = c1/z = k

a = kx, b = ky, c = kz

abc = kx. ky. kz = kx+y+z

দেওয়া আছে, abc = 1

kx+y+z = 1 = k⁰

x + y + z = 0

 

 

উদাহরণ ১৫.

সমাধান:

সরল কর

1/(1+ay-z + ay-x) + 1/(1 + az-x + az-y) + 1/( 1+ ax-y +ax-y)

সমাধান:

এখানে, 1/(1+ay-z + ay-x)  = + a-y/ a-y/a-y(1+ay-z + ay-x) =a-y/a-y +a-z +a-x

একইভাবে, 1/(1 + az-x + az-y) = a-z/a-z(1 + az-x + az-y)=a-z/a-z + a-x + a-y

এবং 1/( 1+ ax-y +ax-y) = a-x/a-x + a-y +a-z

সুতরাং প্রদত্ত রাশি  = 1/(1+ay-z + ay-x)  = + a-y/ a-y/a-y(1+ay-z + ay-x) =a-y/a-y +a-z +a-x

= (a-y/a-y +a-z +a-x) = (a-z/a-z + a-x + a-y) + (a-x/a-x + a-y +a-z)

= (a-x + a-y +a-z)/(a-x + a-y +a-z)

= 1

উদাহরণ ১৬.

যদি a = 2 + 22/3 + 21/3 হয়, তবে দেখাও যে, a3 – 6a2 + 6a – 2 = 0

সমাধান:

দেওয়া আছে, a =a = 2 + 22/3 + 21/3

a -2=22/3 + 21/3

(a−2)³ = (22/3+21/3)³

= 2²+2+3 · 22/3 · 21/³ (22/3 +21/3) =

= 6+6(a− 2) [·.· 22/3 +21/3} = a – 2]

= a³-3a². 2+3a.22-23 = 6+ 6a – 12

= a3 – 6a²+12a-8

=6a- 6

=a3 – 6a²+6a-2=0

উদাহরণ ১৭.

সমাধান কর: 4x –  3. 2x+25 = 0

সমাধান:

4x –  3. 2x+25 = 0

বা,  (22)x – 3.2x.22 +32=0

বা, (2x) 12-2x +32= 0

বা, y2 – 12y + 32 = 0 [মনে করি 2x= y]

বা, y² – 4y – 8y+32= 0

বা, y(y-4) – 8(y-4) = 0

বা, ( y – 4 ) ( y – 8) = 0

সুতরাং y – 4 = 0 অথবা, y – 8 = 0

বা, 2x – 4 = 0 [:: 2x = y] অথবা, 2x – 8 = 0 [ 2x = y]

বা, 2x = 4 = 22 অথবা, 2x = 8 = 23

x = 2, 3

নির্ণেয় সমাধান = 2, 3

আরও দেখুনঃ

• জ্যামিতিক কোণ ও ত্রিকোণমিতিক কোণ