আজকে আমাদের আলোচনার বিষয়ঃ রাশির উৎপাদকে বিশ্লেষণ । এটি অষ্টম শ্রেনী গণিতের বীজগণিতীয় সূত্রাবলি ও প্রয়োগের অন্তর্গত।
রাশির উৎপাদকে বিশ্লেষণ
উৎপাদক :
যদি কোনো বীজগণিতীয় রাশি দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল হয়, তাহলে শেষোক্ত রাশিগুলোর প্রত্যেকটিকে প্রথম রাশির উৎপাদক বা গুণনীয়ক (Factor) বলা হয়। যেমন, a –B =(a+b)(a–b), এখানে (a+b)ও (a–b) রাশি দুইটি (a2 – b2) এর উৎপাদক ।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ :
যখন কোনো বীজগণিতীয় রাশিকে সম্ভাব্য দুই বা ততোধিক রাশির গুণফলরূপে প্রকাশ করা হয়, তখন একে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা বলে এবং ঐ রাশিগুলোর প্রত্যেকটিকে প্রথমোক্ত রাশির উৎপাদক বলা হয় । যেমন, x2 + 2x = x(x + 2)
[এখানে x ও (x + 2 ) উৎপাদক
উৎপাদক নির্ণয়ের নিয়মগুলো নিচে দেওয়া হলো :
(ক) সুবিধামতো সাজিয়ে :
px – qy + qx – py কে সাজানো হলো, px + qx – py – qy রূপে ।
এখন, px + qx – py – qy= x (p+q) – y (p+q) = (p+q) (x – y).
আবার, px – qy + qx – py কে সাজানো হলো, px – py + qx – qy রূপে । এখন, px – py+ qx – y = p(x – y) + q(x – y) = (x-y)(p+q).
(খ) একটি রাশিকে পূর্ণ বর্গ আকারে প্রকাশ করে : x2 + 4xy + 4y2 = (x)2 + 2 x x x 2y + (2y) 2 = (x + 2y)2 = (x + 2y) (x+2y)
(গ) একটি রাশিকে দুইটি রাশির বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করে এবং a2 – b2 সূত্র প্রয়োগ করে :
a²+2ab-2b-1
= a + 2ab + b2 – b2 – 2b – 1 [ এখানে b2 একবার যোগ এবং একবার বিয়োগ করা হয়েছে। এতে রাশির মানের কোনো পরিবর্তন হয় না]
বিকল্প নিয়ম :
a²+2ab-2b-1
=(a2-1)+(2ab-2b)
=(a+1)(a-1)+2b(a−1) =(a-1)(a+1+2b)
= (a-1)(a+2b+1)
(ঘ) x² + (a+b)x+ab = (x+a)(x+b) সূত্রটি ব্যবহার করে : x²+7x+10= x²+(2+5)x+2×5 = (x+2)(x+5)
(ঙ) একটি রাশিকে ঘন আকারে প্রকাশ করে :
8×3 +36x²+54x+27
=(2x)³ +3×(2x)²×3+3×2x×(3)² +(3)3
= (2x+3)3
= (2x+3)(2x+3)(2x+3)
(চ) a³ +b³ = (a+b)(a² − ab+b²) 4 a³ − b³ = (a−b)(a² +ab+b²)
সূত্র দুইটি ব্যবহার করে :
8x³ +125=(2x)³ +(5)³ = (2x+5){(2x)² − (2x)×5+(5)²} = (2x+5)(4x²-10x+25)
27x³-8=(3x)³ (2)3 =(3x-2){(3x)² +(3x)×2+(2)²) =(3x-2)(9x²+6x+4)
উদাহরণ ১।
27x + 8xy কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর ।
সমাধান :
27x+8xy³ = x(27x³ +8y³)
= x{(3x)³ +(2y)³}
= x(3x+2y){(3x)² – (3x) × (2y)+(2y)²}
= x(3x+2y)(9x² − 6xy+4y²)
উদাহরণ ২।
24×3 -81y3 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর ।
সমাধান :
24×3 – 81y3 = 3(8×3 – 27y3)
= 3{(2x)³ – (3y)³}
= 3(2x-3y){(2x)² +(2x) × (3y)+(3y)²}
= 3(2x-3y)(4x²+6xy+9y²)
আরও দেখুনঃ