আজকে আমরা লগারিদমের সূত্রাবলী সম্পর্কে আলোচনা করবো । যা উচ্চতর গণিতের সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন অংশের অন্তর্গত।
লগারিদমের সূত্রাবলী
Logos এবং arithmas নামক দুটি গ্রিক শব্দ হতে Logarithm শব্দটির উৎপত্তি। Logos অর্থ আলোচনা এবং arithmas অর্থ সংখ্যা। সুতরাং Logarithm শব্দটির অর্থ সংখ্যা নিয়ে আলোচনা।
সংজ্ঞা: যদি a” = b হয়, যেখানে a > 0 এবং a ≠ 1 তবে x কে b এর a ভিত্তিক লগারিদম বলা হয়
যেখানে x = logab
অতএব, যদি ax = b হয়, তবে x = logab
বিপরীতক্রমে, যদি x = logab হয়, তবে ax = b
এক্ষেত্রে ৮ সংখ্যাটিকে a. এর সাপেক্ষে x এর প্রতিলগ (antilogarithm) বলে এবং আমরা লিখি, b = antilogax
অনেক সময় log ও প্রতি log এর ভিত্তি উহ্য রাখা হয় ।
উদাহরণ ১৮.
antilog 2.82679 = 671.1042668
antilog(9.82672 – 10 ) = 0.671
এবং antilog(6.74429 10 ) = 0.000555
উদাহরণ ১৯.
ক) 42 = 16
log4(16) = 2
খ) 5-2 = 1/52 = 1 /25
log5 (25) = −2
গ) 10³ = 1000
log10(1000) = 3
ঘ) 7log79 = 9 [..: alogab = b]
ঙ) 18 = log₂ (218) [.log(a) = x]
লগারিদমের সূত্রাবলী
নবম-দশম শ্রেণির গণিতে প্রমাণ দেওয়া হয়েছে বিধায় এখানে শুধু সূত্রগুলো দেখানো হল।
1. logaa = 1 এবং loga1 = 0
2. loga (M × N) = logaM + logaN
3. loga (M/N) = loga M – logaN
4. log (MN) = Nlog₁M
5. logM = logM x logb
উদাহরণ ২০.
log25+ log27+ log23 = log(5.7.3) = log2105
উদাহরণ ২১.
log320-log35 = log 20/5 = log34
উদাহরণ ২২.
log564 = log526 = 6 log52
দ্রষ্টব্য:
(i) যদি x > 0, y > 0 এবং a ≠ 1 হয় তবে x = y হবে যদি এবং কেবল যদি logax = logay
(ii) যদি a > 1 এবং x > 1 হয় তবে logax > 0
(iii) যদি 0 < a <1 এবং 0 < x < 1 হয় তবে logax < 0
(iv) fa> 1 4 0 < x < 1 log <0
উদাহরণ ২৩.
x এর মান নির্ণয় কর যখন
ক) log√8x = 10/3
খ) log10[98+ √x² – 12x+36] = 2
সমাধান:
ক) log√8x = 10/ 3
বা, x=(√8)10/ 3 = (√23)10/ 3
বা, x = 23/2.10/ 3 = 25 = 32
x = 32
খ) log10[98 + √x² – 12x + 36] = 2
বা, 98+ √x² – 12x + 36 = 102 = 100
বা, √x² – 12x + 36 = 2
বা, x²-12x+36=4
বা, x2 -12x + 32 = 0
বা, (x-4)(x – 8) = 0
x = 4 বাx = 8
উদাহরণ 28
alogkb-logkc × blogkc-logkª × clogka-logkb = 1
সমাধান:
ধরি, p =alogkb-logkc × blogkc-logkª × clogka-logkb
তবে , logkp = (logkb-logkc)logka+(logkc-logka)logkb+(logka-logkb)logkC
logkp =0
বা, p = k⁰ = 1
alogkb-logkc × blogkc-logkª × clogka-logkb = 1
উদাহরণ ২৫.
দেখাও যে, xlogay = ylogax
সমাধান:
ধরি, p=logay, q = logax
ap = y, aq=x
(ap)q = yq
yq = арq
(aq)p= xp
xp = apq
xp = yq
x logay = ylogax
উদাহরণ ২৬.
সমাধান:
logap × logaq × logar x logrb = logab
বামপক্ষ = logap × logaq × logar x logrb
= (logap × logaq) × (logar x logrb)
= logaq × logqb = logab
উদাহরণ ২৭.
দেখাও যে, 1/loga (abc) + 1/log (abc) + 1/log(abc) = 1
loga(abc) = x, logb (abc) = y, logc(abc) = z
ax = abc, by = abc, cz = abc
α = (abc)1/x, b = (abc)1/y, (abc)1/z
(abc)¹ = abc = (abc)1/z (abc)1/y(abc)1/x = (abc)1/x+1/y+1/z
1/x+1/y+1/z = 1
উদাহরণ ২৮.
যদি p = loga (bc), q = logo (ca), r = log (ab) হয় তবে দেখাও যে,
1 /(p+1) +1 /(q+1) + 1 /(r+1) = 1
1+p=1+ log (bc) = logaa + log (bc) = log(abc)
1+q=logb(abc) এবং 1+ r = log(abc)
পূর্ববর্তী উদাহরণে আমরা প্রমাণ করেছি, 1/loga (abc) + 1/logb (abc) + 1/logc (abc)
1 /(p+1) +1 /(q+1) + 1 /(r+1) = 1
উদাহরণ ২৯.
যদি loga/( y-z) = logb/(z – x) = logc(x − y) হয় তবে দেখাও যে, axbycz = 1
সমাধান:
ধরি, loga/( y-z) = logb/(z – x) = logc(x − y) = k
loga = k(y − z), logb = k(z – x), logc = k(x − y)
xloga+ylogb+ zlogc = k(xy – zx + yz − xy + zx — yz) = 0
logax + logby + logcz = 0
log(axbycz) = 0
log(axbycz) = log1 [. log1 = 0]
axbycz = 1
লগারিদম এর সূত্রাবলী নিয়ে বিস্তারিত ঃ
লগারিদমের গাণিতিক সমস্যা :