আজকে আমরা আলোচনা করবো সমমাত্রিক বহুপদী, প্রতিসম ও চক্র-ক্রমিক রাশি । যা উচ্চতর গণিতের বীজগানিতিক রাশি অংশের অন্তর্গত।
সমমাত্রিক বহুপদী, প্রতিসম ও চক্র-ক্রমিক রাশি
সমমাত্রিক বহুপদী:
কোনো বহুপদীর প্রত্যেক পদের মাত্রা একই হলে, একে সমমাত্রিক বহুপদী (homogeneous polynomial) বলা হয়। x2 + 2xy + 5y2 রাশিটি x, y চলকের দুই মাত্রার একটি সমমাত্রিক বহুপদী (এখানে প্রত্যেক পদের মাত্রা 2 ) ।
ax2 + 2hxy + by2 রাশিটি x, y চলকের একটি দুই মাত্রার সমমাত্রিক রাশি, যেখানে, a, h, b নির্দিষ্ট সংখ্যা। x, y, a, h, b প্রত্যেককে চলক বিবেচনা করা হলে এটি এই চলকসমূহের তিন মাত্রার সমমাত্রিক বহুপদী হয়। 2x2y + y2z +9z2x – 5xyz বহুপদীটি x, y, z চলকের তিন মাত্রার সমমাত্রিক বহুপদী। (এখানে প্রত্যেক পদের মাত্রা 3 ) ।
প্রতিসম রাশি (Symmetric Expression) :
একাধিক চলক সংবলিত কোনো বীজগাণিতিক রাশির যেকোনো দুইটি চলক স্থান বিনিময়ে যদি রাশিটি অপরিবর্তিত থাকে, তবে রাশিটিকে ঐ চলকসমূহের প্রতিসম (symmetric) রাশি বলা হয়।
a + b + c রাশিটি a, b, c চলকের প্রতিসম রাশি। কারণ, a, b, c চলক তিনটির যেকোনো দুইটির স্থান বিনিময়ে রাশিটি অপরিবর্তিত থাকে। একইভাবে, ab + bc + ca রাশিটি a, b, c চলকের এবং x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx রাশিটি x, y, z চলকের প্রতিসম রাশি।
কিন্তু 2×2 + 5xy + 6y2 রাশিটি x ও y চলকের প্রতিসম নয়, কারণ রাশিটিতে x ও y এর পরস্পর স্থান বিনিময়ে 2y2 + 5xy + 6×2 রাশিতে পরিবর্তিত হয় যা পূর্বের রাশি থেকে ভিন্ন।
চক্র-ক্রমিক রাশি (Cyclic Expression) :
তিনটি চলক সংবলিত কোনো রাশিতে প্রথম চলক দ্বিতীয় চলকের, দ্বিতীয় চলক তৃতীয় চলকের এবং তৃতীয় চলক প্রথম চলকের স্থলে বসালে রাশিটি যদি পরিবর্তিত না হয়, তবে রাশিটিকে ঐ তিন চলকের উল্লিখিত ক্রমে একটি চক্র-ক্রমিক রাশি বা চক্র প্রতিসম রাশি (cyclically symmetric expression) বলা হয়। চলকগুলোর স্থান পরিবর্তন নিচের চিত্রের মত চক্রাকারে করা হয় বলেই এরূপ রাশিকে চক্র-ক্রমিক রাশি বলা হয়ে থাকে ।
x2 + y2 +z2 + xy + yz + zx রাশিটি x, y, z চলকের একটি চক্র-ক্রমিক রাশি, কারণ এতে চক্রাকারে x এর পরিবর্তে y, y এর পরিবর্তে ≈ এবং ≈ এর পরিবর্তে বসালে রাশিটি একই থাকে। একইভাবে x2y + y2z + z2x রাশিটি x, y, z চলকের একটি চক্র-ক্রমিক রাশি।
x2 – y2 + z2 রাশিটি চক্র-ক্রমিক রাশি নয়, কারণ এতে x এর স্থলে y, y এর স্থলে z এবং z এর স্থলে x বসালে রাশিটি y2 – z2 + x2 রাশিতে পরিবর্তিত হয় যা পূর্বের রাশি থেকে ভিন্ন।
তিনটি চলকের প্রত্যেক প্রতিসম রাশি চক্র-ক্রমিক। কিন্তু প্রত্যেক চক্র-ক্রমিক রাশি প্রতিসম নয়। যেমন, x2 ( y – z ) + y2 (z – x) + z2 (x – y ) রাশিটি চক্র-ক্রমিক, কিন্তু প্রতিসম নয়। কারণ, রাশিটিতে x এবং y স্থান বিনিময় করলে y2 (x – z) + x2 (z – y) + z2(y – x) রাশি পাওয়া যায় যা পূর্বের রাশিটি থেকে ভিন্ন।
দ্রষ্টব্য:
বর্ণনার সুবিধার্থে x y চলকের রাশিকে F(x,y) আকারের এবং x, y, z চলকের রাশিকে F(x,y,z) আকারের প্রতীক দ্বারা সূচিত করা হয়।
আরও দেখুনঃ
4 thoughts on “সমমাত্রিক বহুপদী, প্রতিসম ও চক্র-ক্রমিক রাশি”