সমান্তর ধারা

আজকে আমাদের আলোচনার বিষয়ঃ সমান্তর ধারা। এটি নবম – দশম শ্রেনী গণিতের সসীম ধারার অন্তর্গত।

 

 

সমান্তর ধারা

কোনো ধারার যেকোনো পাশাপাশি দুইটি পদের পার্থক্য সব সময় সমান হলে, সেই ধারাটিকে সমান্তর ধারা বলে।

উদাহরণ ১. 1+3+5+7+9+11 একটি ধারা। এই ধারাটির প্রথম পদ 1, দ্বিতীয় পদ 3, তৃতীয় পদ 5 ইত্যাদি।

এখানে, দ্বিতীয় পদ – প্রথম পদ = 3 − 1 = 2,

তৃতীয় পদ – দ্বিতীয় পদ = 5 – 3 = 2,

চতুর্থ পদ তৃতীয় পদ = 7 – 5 = 2,

পঞ্চম পদ – চতুর্থ পদ = 9 – 7 = 5,

ষষ্ঠ পদ পঞ্চম পদ = 11 – 9 = 2

সুতরাং, ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।

এই ধারায় প্রাপ্ত দুইটি পদের বিয়োগফলকে সাধারণ অন্তর বলা হয়। উল্লেখিত ধারার সাধারণ অন্তর 2। ধারাটির পদ সংখ্যা নির্দিষ্ট। এ জন্য এটি একটি সসীম বা সান্ত ধারা (Finite Series)। উল্লেখ্য, সমান্তর ধারার পদসংখ্যা নির্দিষ্ট না হলে একে অসীম বা অনন্ত ধারা (Infinite Series) বলে। যেমন, 1+4+7+10+ একটি অসীম ধারা। সমান্তর ধারায় সাধারণত প্রথম পদকে a দ্বারা এবং সাধারণ অন্তরকে d দ্বারা প্রকাশ করা হয়। তাহলে সংজ্ঞানুসারে, প্রথম পদ a হলে, দ্বিতীয় পদ a + d, তৃতীয় পদ a + 2d ইত্যাদি। সুতরাং, ধারাটি হবে, a + (a + d) + (a + 2d) + ….

 

 

সমান্তর ধারার সাধারণ পদ নির্ণয়

মনে করি, যেকোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a ও সাধারণ অন্তর d। তাহলে ধারাটির

প্রথম পদ = a = a + ( 1 – 1 ) d

দ্বিতীয় পদ = a + d = a + ( 2 – 1)d

তৃতীয় পদ = a + 2d = a + ( 3 – 1 ) d

চতুর্থ পদ = a + 3d = a + ( 4 – 1 ) d

…..  ……  ……

……  …..  ……

n তম পদ = a + (n-1)d

এই n তম পদকেই সমান্তর ধারার সাধারণ পদ বলা হয়। কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অন্তর d জানা থাকলে n তম পদে n = 1, 2, 3, 4, বসিয়ে পর্যায়ক্রমে ধারাটির প্রত্যেকটি পদ … নির্ণয় করা যায়।

মনে করি, একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ 3 এবং সাধারণ অন্তর 2। অতএব, ধারাটির n তম পদ = 3 + (n – 1 ) x 2 = 2n + 11

উদাহরণ ২.

5+8+11 +14+………ধারাটির কোন পদ 383 ?

সমাধান:

ধারাটির প্রথম পদ a = 5, সাধারণ অন্তর d = 8 – 5 = 11 – 8 = 14 – 11 = 3

ইহা একটি সমান্তর ধারা।

মনে করি, ধারাটির n তম পদ = 383

আমরা জানি, n তম পদ f = a + (n-1)d

a+ (n-1)d 383

বা, 5 + (n – 1) 3 = 383

বা, 5+ 3n – 3 = 383

বা, 3n = 383 – 5 + 3

বা, 3n = 381

বা, n = 381/3

বা, n = 127

প্রদত্ত ধারার 127 তম পদ = 383 ।

 

 

সমান্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি

মনে করি, যেকোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, শেষ পদ p, সাধারণ অন্তর d, পদ সংখ্যা n এবং ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি S।

ধারাটিকে প্রথম পদ হতে শেষ পদ এবং বিপরীতক্রমে শেষ পদ হতে প্রথম পদ লিখে পাওয়া যায়

Sn = a + (a+d) + (a + 2d) + + (p-2d) + (p- d) + p  …… ( 1 )

এবং Sn = p + (p – d) + (p-2d) + + (a+2d) + (a+d) + a  …… (2)

যোগ করে, 2Sn = (a+p) + (a +p) + (a +p) + ……… + (a +p) + (a +p) + (a+p)

বা, 2S = n (a+p) [ ধারাটির পদ সংখ্যা n]

Sn = n/2(a+p) … (3)

আবার, n তম পদ = p = a + (n-1)d । p এর মান (3) এ বসিয়ে পাই,

Sn = n/2[a + {a + (n – 1)d}]

অর্থাৎ, Sn = 2{2a + (n – 1)d} … (4)

কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, শেষ পদ p এবং পদ সংখ্যা n জানা থাকলে, (3) নং সূত্রের সাহায্যে ধারাটির সমষ্টি নির্ণয় করা যায়। কিন্তু প্রথম পদ a, সাধারণ অন্তর d, পদ সংখ্যা জানা থাকলে, (4) নং সূত্রের সাহায্যে ধারাটির সমষ্টি নির্ণয় করা যায়।

প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি নির্ণয়

মনে করি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি Sn

অর্থাৎ, Sn = 1 + 2 + 3 + + (n-1) + n

ধারাটিকে প্রথম পদ হতে এবং বিপরীতক্রমে শেষ পদ হতে লিখে পাওয়া যায়

Sn = 1+2+3+ · + (n − 2) + (n − 1) + n … (1)

এবং Sn = n + (n – 1 ) + (n – 2 ) + … +3+2+1… (2)

যোগ করে, 2Sn = (n+1) + (n + 1 ) + (n + 1 ) + …….+ (n + 1) [n সংখ্যক পদ]

বা, 2Sn = n(n+1)

Sn = n(n+1)/ 2 …….(3)

 

 

উদাহরণ ৩.

প্রথম 50 টি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল নির্ণয় কর।

সমাধান:

আমরা (3) নং সূত্র ব্যবহার করে পাই,

S50 = 50(50 + 1)/2 = 25 × 51 = 1275

প্রথম 50 টি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল 1275।

উদাহরণ ৪.

1+2+3+4+ +99 = কত?

সমাধান:

ধারাটির প্রথম পদ a = 1, সাধারণ অন্তর d = 2 – 1 = 1 এবং শেষ পদ p = 99

ইহা একটি সমান্তর ধারা।

মনে করি, ধারাটির n তম পদ = 99

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n-1) d

a+ (n-1)d = 99

বা, 1 + (n – 1)1 = 99

বা, 1+ n − 1 = 99

n = 99

(4) নং সূত্র হতে, সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি, Sn n = {2a + (n-1)d}

সুতরাং, ধারাটির 99 টি পদের সমষ্টি S99 = 998/2{2 x 1 + (99 – 1) x 1 } = 99/2(2+98) = (99 x 100)/2 = 99 x 50 = 4950

বিকল্প পদ্ধতি:

(3) নং সূত্র হতে, Sn = n/2(a+p)

S99 = 99/2(1+99) = (99 x 100)/ 2 = 4950

উদাহরণ ৫.

7 +12 + 17+ … ধারাটির প্রথম 30 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:

ধারাটির প্রথম পদ a = 7, সাধারণ অন্তর d = 12 – 7 = 5

ইহা একটি সমান্তর ধারা। এখানে পদ সংখ্যা n = = 30

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি,

Sn = n/2{2a + (n – 1)d}

তাহলে, প্রথম 30 টি পদের সমষ্টি S30 = 30/2{2·7+(30-1)5} = 15(14+ 29 × 5)

= 15(14+ 145) = 15 x 159 = 2385

 

 

উদাহরণ ৬.

রশিদ তার বেতন থেকে প্রথম মাসে 1200 টাকা সঞ্চয় করেন এবং পরবর্তী প্রতিমাসে এর পূর্ববর্তী মাসের তুলনায় 100 টাকা বেশি সঞ্চয় করেন।

ক) সমস্যাটিকে n সংখ্যক পদ পর্যন্ত ধারায় প্রকাশ কর।

খ) তিনি 18 তম মাসে কত টাকা এবং প্রথম 18 মাসে মোট কত টাকা সঞ্চয় করেন?

গ) তিনি কত বছরে মোট 106200 টাকা সঞ্চয় করেন?

সমাধান :

ক) প্রশ্নানুসারে, ধারাটির প্রথম পদ a = 1200, সাধারণ অন্তর d = 100

দ্বিতীয় পদ = 1200 + 100 = 1300

তৃতীয় পদ = 1300 + 100 = 1400

n তম পদ = a + (n – 1 ) d = 1200 + (n – 1) 100 = 1100+100n

1200+1300+1400+…+(1100-100n)

খ) আমরা জানি, n তম পদ = a + (n-1)d

18 তম মাসে সঞ্চয় = a + ( 18 – 1 ) d = 1200 + 17 x 100 = 2900 টাকা

আবার, প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি = n/2{2a + (n – 1)d}

প্রথম 18 মাসের সঞ্চয় = 18/2 {2 x 1200 + ( 18 – 1 ) × 100} টাকা

= 9(2400+1700) = 36900 টাকা

গ) মনে করি, তিনি n মাসে 106200 টাকা সঞ্চয় করেন।

প্রশ্নানুসারে, n/2{2a + (n – 1)d} = 106200

বা, n/2{2 × 1200 + (n – 1) × 100} = 106200

বা, n (2400 + 100n – 100 ) = 212400

বা, 100n2 + 2300n – 212400 = 0

বা, n2 + 23n – 2124 = 0

বা, n2 + 59n – 36m – 2124 = 0

বা, (n + 59 ) ( n − 36 ) = 0

অর্থাৎ, n = – 59 অথবা n = 36

মাস কখনো ঋণাত্মক হতে পারেনা।

নির্ণেয় সময়: 36 মাস বা 3 বছর।