সরল সহসমীকরণ

আজকে আমাদের আলোচনার বিষয়ঃ সরল সহসমীকরণ ।  এটি নবম – দশম শ্রেনী গণিতের দুই চলকবিশিষ্ট সরল সহসমীকরণ এর অন্তর্গত।

 

 

সরল সহসমীকরণ

সরল সহসমীকরণ বলতে দুই চলকবিশিষ্ট দুইটি সরল সমীকরণকে বুঝায় যখন এদের একত্রে উপস্থাপন করা হয় এবং চলক দুইটি একই বৈশিষ্টের হয়। আবার এরূপ দুইটি সমীকরণকে একত্রে সরল সমীকরণজোটও বলে। অষ্টম শ্রেণিতে আমরা এরূপ সমীকরণজোটের সমাধান করেছি ও বাস্তবভিত্তিক সমস্যার সহসমীকরণ গঠন করে সমাধান করতে শিখেছি। এ অধ্যায়ে এ সম্পর্কে আরো বিস্তারিত আলোচনা করা হয়েছে।

প্রথমে আমরা 2x + y = 12 সমীকরণটি বিবেচনা করি। এটি একটি দুই চলকবিশিষ্ট সরল সমীকরণ। সমীকরণটিতে বামপক্ষে x ও y এর এমন মান পাওয়া যাবে কি যাদের প্রথমটির দ্বিগুণের সাথে দ্বিতীয়টির যোগফল ডানপক্ষের 12 এর সমান হয়, অর্থাৎ ঐ মান দুইটি দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হয়?

 

 

এখন, 2x + y = 12 সমীকরণটি থেকে নিচের ছকটি পূরণ করি:

x এর মান	y এর মান	বামপক্ষ (2x + y) এর মান	ডানপক্ষ
-2	16	-4+16= 12	12
0	12	0+12= 12	12
3	6	6+6 = 12	12
5	2	10+2 = 12	12
…	…	…  = 12	12

সমীকরণটির অসংখ্য সমাধান আছে। তার মধ্যে চারটি সমাধান: ( 2,16), (0, 12 ), ( 36 ), ( 5, 2 ) ।

আবার, অন্য একটি সমীকরণ x – 3 নিয়ে নিচের ছকটি পূরণ করি :

x এর মান	y এর মান	বামপক্ষ (x – y) এর মান	ডানপক্ষ
-2	-5	-2+5=3	3
0	-3	0+3=3	3
3	0	3-0= 3	3
5	2	5 – 2= 3	3
…	…	… = 3	3

সমীকরণটির অসংখ্য সমাধান আছে। তার মধ্যে চারটি সমাধান: (-2, 5 ), ( 0 – 3), ( 30 ), ( 5, 2 ) ।

যদি আলোচ্য সমীকরণ দুইটিকে একত্রে জোট হিসেবে ধরা হয়, তবে একমাত্র (5,2) দ্বারা উভয় সমীকরণ যুগপৎ সিদ্ধ হয়। আর অন্য কোনো মান দ্বারা উভয় সমীকরণ যুগপৎ সিদ্ধ হবে না।

অতএব, সমীকরণজোট 2x + y = 12 এবং x y= = 3 এর সমাধান: (x, y) = ( 5, 2 )

 

 

দুই চলকবিশিষ্ট সরল সহসমীকরণের সমাধান যোগ্যতা

ক) পূর্বের আলোচিত সমীকরণজোট

2x + y = 12

x – y = 3

এর অনন্য (একটি মাত্র) সমাধান পাওয়া গেছে। এরূপ সমীকরণজোটকে সমঞ্জস (consistent) বলা হয়। সমীকরণ দুইটির x ও y এর সহগ তুলনা করে (সহগের অনুপাত নিয়ে) পাই, 2/1 ≠  1/-1 সমীকরণজোটটির একটি সমীকরণকে অন্যটির মাধ্যমে প্রকাশ করা যায় না। এ জন্য এরূপ সমীকরণকে পরস্পর অনির্ভরশীল (independent) সমীকরণজোট বলা হয়।

সমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল সমীকরণজোটের ক্ষেত্রে অনুপাতগুলো সমান নয়। এক্ষেত্রে ধ্রুবকপদ তুলনা করার প্রয়োজন হয় না ।

খ) এখন আমরা

2x – y = 6

4x – 2y = 12,

সমীকরণজোটটি বিবেচনা করি। এই দুইটি সমীকরণ সমাধান করা যাবে কি?

এখানে, ১ম সমীকরণটির উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা গুণ করলে ২য় সমীকরণটি পাওয়া যাবে। আবার, ২য় সমীকরণের উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করলে ১ম সমীকরণটি পাওয়া যাবে। অর্থাৎ, সমীকরণ দুইটি পরস্পর নির্ভরশীল।

আমরা জানি, ১ম সমীকরণটির অসংখ্য সমাধান আছে। কাজেই, ২য় সমীকরণটিরও ঐ একই অসংখ্য সমাধান আছে। এরূপ সমীকরণজোটকে সমঞ্জস ও পরস্পর নির্ভরশীল (dependent) সমীকরণজোট বলে। এরূপ সমীকরণজোটের অসংখ্য সমাধান আছে।

এখানে, সমীকরণ দুইটির x ও y এর সহগ এবং ধ্রুবক পদ তুলনা করে পাই, 2/4 = 1/-1 = 6/12 = 1/2

অর্থাৎ, সমঞ্জস ও পরস্পর নির্ভরশীল সমীকরণজোটের ক্ষেত্রে অনুপাতগুলো সমান হয়।

গ) এবারে আমরা

2x + y = 12

4x + 2y = 5,

সমীকরণজোটটি সমাধান করার চেষ্টা করি। এখানে, ১ম সমীকরণটির উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা গুণ করে পাই, 4x + 2y = 24

২য় সমীকরণটি, 4x + 2y = 5

বিয়োগ করে পাই, 0 = 19 যা অসম্ভব।

কাজেই বলতে পারি, এ ধরনের সমীকরণজোট সমাধান করা সম্ভব নয়। এরূপ সমীকরণজোট অসমঞ্জস (inconsistent) ও পরস্পর অনির্ভরশীল। এরূপ সমীকরণজোটের কোনো সমাধান নেই ।

এখানে সমীকরণ দুইটির x ও y এর সহগ এবং ধ্রুবক পদ তুলনা করে পাই, 2/4 = 1/2 ≠ 12/5

অর্থাৎ, অসমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল সমীকরণজোটের ক্ষেত্রে চলকের সহগের অনুপাতগুলো ধ্রুবকের অনুপাতের সমান নয়।

 

 

সাধারণভাবে,

a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

সমীকরণজোটটি নিয়ে নিচের ছকের মাধ্যমে দুইটি সরল সমীকরণের = C2 সমাধান যোগ্যতার শর্ত উল্লেখ করা হলো:

 

	সমীকরণজোট	সহগ ও ধ্রুবক পদ তুলনা	সমঞ্জস / অসমঞ্জস	পরস্পর নির্ভরশীল / অনির্ভরশীল	সমাধান আছে (কয়টি)/নেই
(i)	a1x + b1y = c1 a2x + b2y = C2	a1/a2 ≠ b1/b2	সমঞ্জস	অনির্ভরশীল	আছে (একটিমাত্র)
(ii)	a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2	a1/a2 = b1/b2 = c1/c2	সমঞ্জস	নির্ভরশীল	আছে (অসংখ্য)
(iii)	a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2	a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2	অসমঞ্জস	অনির্ভরশীল	নেই

এখন, যদি কোনো সমীকরণজোটে উভয় সমীকরণে ধ্রুবক পদ না থাকে, অর্থাৎ, c1 = c2 = 0 হয়, তবে ছকের

(i) অনুযায়ী a1/a2 ≠ b1/b2 – হলে, সমীকরণজোট সর্বদা সমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল। সেক্ষেত্রে একটিমাত্র (অনন্য) সমাধান থাকবে।

(ii) a1/a2 = b1/b2 অনুযায়ী হলে, সমীকরণজোট সমঞ্জস ও পরস্পর নির্ভরশীল। সেক্ষেত্রে অসংখ্য সমাধান থাকবে।

উদাহরণ ১.

নিচের সমীকরণজোটগুলো সমঞ্জস / অসমঞ্জস, নির্ভরশীল/অনির্ভরশীল কি না ব্যাখ্যা কর এবং এদের সমাধানের সংখ্যা নির্দেশ কর।

ক) x + 3y = 1
2x + by = 2

খ) 2x – 5y = 3

x + 3y = 1

গ) 3x – 5y = 7

6x-10y= 15

সমাধান :

ক) প্রদত্ত সমীকরণজোট:

x + 3y = 1

2x + by = 2

x এর সহগদ্বয়ের অনুপাত 1/2

y এর সহগদ্বয়ের অনুপাত 3/6 বা 1/2

ধ্রুবক পদদ্বয়ের অনুপাত 1/2

1/2 = 3/6 = 1 2

অতএব, সমীকরণজোটটি সমঞ্জস ও পরস্পর নির্ভরশীল। সমীকরণজোটটির অসংখ্য সমাধান আছে।

খ) প্রদত্ত সমীকরণ জোট:

2x – 5y = 3

x + 3y = 1

x এর সহগদ্বয়ের অনুপাত 2/1

y এর সহগদ্বয়ের অনুপাত -5/3

আমরা পাই, 2/1 ≠ -5/3

:: সমীকরণজোটটি সমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল। সমীকরণজোটটির একটিমাত্র (অনন্য সমাধান আছে।

গ) প্রদত্ত সমীকরণ জোট:

3x-5y = 7

6x – 10y = 15

x এর সহগদ্বয়ের অনুপাত 3/6 বা 1/2

y এর সহগদ্বয়ের অনুপাত -5/ -10 বা 1/2

ধ্রুবক পদদ্বয়ের অনুপাত 7/15

আমরা পাই, 3/6 = -5/-10  ≠ 7/15

সমীকরণজোটটি অসমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল। সমীকরণজোটটির কোনো সমাধান নেই ।

 

অনুশীলনী

নিচের সরল সহসমীকরণগুলো সমঞ্জস/অসমঞ্জস, পরস্পর নির্ভরশীল/অনির্ভরশীল কি না যুক্তিসহ উল্লেখ কর এবং এগুলোর সমাধানের সংখ্যা নির্দেশ কর:

১. x – y = 4

x + y = 10

২. 2x + y = 3

4x + 2y = 6

৩. x – y – 4 = 0

3x – 3y – 10 = 0

8. 3x + 2y = 0

6x + 4y = 0

৫. 3x + 2y = 0

9x – 6y = 0

৬. 5x – 2y – 16 = 0

3x  6/5y =2

৭. -1/2x + y = -1

x – 2y = 2

৮. -1/2x – y = 0

x – 2y = 0

৯. -1/2x + y = -1

x + y = 5

১০. ax – cy = 0

cx – ay = c² – a²