আজকে আমাদের আলোচনার বিষয়ঃ ভগ্নাংশকে সাধারণ হরবিশিষ্টকরণ ।এটি অষ্টম শ্রেনী গণিতের বীজগণিতীয় ভগ্নাংশের অন্তর্গত।
ভগ্নাংশকে সাধারণ হরবিশিষ্টকরণ
দুই বা ততোধিক ভগ্নাংশকে সাধারণ হরবিশিষ্ট করতে নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করতে হবে :
১। হরগুলোর ল.সা.গু. নির্ণয় করতে হবে ।
২। ভগ্নাংশের হর দিয়ে ল.সা.গু.কে ভাগ করতে হবে ।
৩। হর দিয়ে ল.সা.গু.কে ভাগ করা হলে যে ভাগফল পাওয়া যাবে, সেই ভাগফল দ্বারা ঐ ভগ্নাংশের লব ও হরকে গুণ করতে হবে ।
যেমন: x/y, a/b, m/n তিনটি ভগ্নাংশ, এদের একই হরবিশিষ্ট করতে হবে ।
এখানে তিনটি ভগ্নাংশের হর যথাক্রমে y, b ও n এদের ল.সা.গু. = ybn
১ম ভগ্নাংশ x/y এর হর y, y দ্বারা ল.সা.গু. ybn কে ভাগ করলে ভাগফল bn, এখন bn দ্বারা x/y ভগ্নাংশের লব ও হরকে গুণ করতে হবে ।
x/y = (x x bn) /(y xbn) =xbn/ybn
একইভাবে, ২য় ভগ্নাংশ a/b এর হর b, b দ্বারা ল.সা.গু. yón কে ভাগ করলে ভাগফল yn ।
a/b = (a x yn) /(b x yn) =ayn/ybn
৩য় ভগ্নাংশ m/n এর হর n, n দ্বারা ল.সা.গু. ybn কে ভাগ করলে ভাগফল yb.
m/n = (m x yb) /(n x yb) =myb/ybn
অতএব, x/y, a/b ও m/n এর সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ যথাক্রমে xbn/ybn, ayn/ybn ও myb/ybn
উদাহরণ ১ ।
নিচের ভগ্নাংশ দুইটিকে লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ কর :
(ক)16a2b3c4y/8a3b2c3x
(খ) a(a2 + 2ab + b2 ) (a3 – b3 ) (a³ +b³)(a*b−b³)
সমাধান :
(ক) প্রদত্ত ভগ্নাংশ 16a2b3c4y/8a3b2c3x
এখানে, 16 ও 8 এর গ.সা.গু. হলো 8
a² ও a³ এর গ.সা.গু. হলো a²
b³ ও b² এর গ.সা.গু. হলো b3 b2
c² ও c5 এর গ.সা.গু. হলো c4
y ও x এর গ.সা.গু. হলো 1
16a²b³c4y ও 8a³b²c³x এর গ.সা.গু. হলো 8a²b²c4
16a2b3c4y/8a3b2c5x এর লব ও হরকে 8a2b2c4 দ্বারা ভাগ করে পাওয়া যায় 2by/acx
16a2b3c4y /8a3b2c5x -এর লঘিষ্ঠ আকার হলো 2by/асх
(খ) প্রদত্ত ভগ্নাংশটি a(a²+2ab+b²)(a³ – b³) /(a³ +b³)(a*b-b³)
এখানে লব = a(a²+2ab+b²)(a³-b³)
= a(a+b)² (a−b)(a² +ab+b²)
হর =(a³+b³)(a4b-b5)
=(a+b)(a² – ab+b²){b(a4 – b4)}
=b(a+b)(a² – ab+b²)(a² -b²)(a²+b²)
=b(a+b)(a² – ab+b²)(a+b)(a−b)(a² +b²)
= b(a+b)² (a – b)(a² + b²)(a² – ab+b²)
লব ও হরের গ.সা.গু. = (a+b)² (a – b)
প্রদত্ত ভগ্নাংশটির লব ও হরকে (a + b)2 (a – b) দ্বারা ভাগ করে পাওয়া যায় a(a²+ab+b²)/ b(a²+b²)(a² – ab+b²)
ভগ্নাংশটির লঘিষ্ঠ রূপ a(a²+ab+b²) /b(a²+b²)(a² – ab+b²)
উদাহরণ ২ ।
x /(x³y-xy³),a/xy(a²-b²), m/(m³n-mn³) কে সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে পরিণত কর ।
সমাধান :
এখানে প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলো x /(x³y-xy³),a/xy(a²-b²), m/(m³n-mn³)
এখানে, ১ম ভগ্নাংশের হর = x3y – xy3
= xy(x2 – y2)
২য় ভগ্নাংশের হর = xy(a2 – b2)
৩য় ভগ্নাংশের হর = = m³n-mn³
= mn(m² – n²)
.:. হরগুলোর ল.সা.গু. = xy(x2 – y2)(a2 – b2)(m2 – n2 )mn
অতএব, x /(x³y-xy³) = {x(a²-b²)(m²-n²)mn}/{xy(x³- y²)(a² – b²)(m² – n²)mn}
a/{xy(a² – b²)} = {a(x²- y²)(m² – n²)mn}/{xy(x² — y²)(a² − b²)(m² – n²)mn}
এবং m/(m³n-mn³) = {xym(x² – y²)(a² – b²) }/{xy(x² − y²)(a² − b²)(m² — n²)mn}
নির্ণেয় ভগ্নাংশগুলো {x(a²-b²)(m² – n²)mn}/{xy(x² − y²)(a² − b²)(m² – n²)mn}, {a(x²- y²)(m² – n²)mn}/{xy(x² − y²)(a² – b²)(m² – n²)mn}
ও {xym(x²-y²)(a2-b²)}/{xy(x²-y²)(a²-b²)(m²-n²)mn}
আরও দেখুনঃ