সূচক সমীকরণ

আজকে আমরা  সূচক সমীকরণ সম্পর্কে  আলোচনা করবো । যা উচ্চতর গণিতের সমীকরণ অংশের অন্তর্গত।

 

 

সূচক সমীকরণ

যে সমীকরণে অজ্ঞাত চলক সূচকরূপে থাকে, তাকে সূচক সমীকরণ বলে। 2x = 8, 16x = 4x+2, 2x+1 – 2x – 8 = 0

সমীকরণগুলো সূচক সমীকরণ যেখানে x অজ্ঞাত চলক। সূচক সমীকরণ সমাধান করতে সূচকের নিম্নলিখিত ধর্মটি প্রায়ই ব্যবহার করা হয়:

a > 0, a ≠ 1 হলে ax = am হবে যদি ও কেবল যদি x = m হয়। এ জন্য প্রথমে সমীকরণের উভয় পক্ষকে একই সংখ্যার ঘাত রূপে প্রকাশ করা হয়।

উদাহরণ ১১

সমাধান কর: 2x+7 = 4x+2

সমাধান:

2x+7 = 4x+2

বা, 2x+7 = (22)x+2

বা, 2x+7 = 22x+4

বা, x + 7 = 2x + 4

বা, x = 3

.:. নির্ণেয় সমাধান x = 3

উদাহরণ ১২.

সমাধান কর: 3.27x = 9x+4

সমাধান:

3.27x = 9x+4

বা, 3 . (33) x = (32) x+4

বা, 3. 3x = 32 (x+4)

বা, 33x+1 = 32x+8

বা, 3x + 1 = 2x + 8

বা, x = 7

নির্ণেয় সমাধান x = 7

 

 

উদাহরণ ১৩.

সমাধান কর: 3mz−1 = 3amz-2 (a> 0, a ≠ 3, m+0)

সমাধান:

3mz−1 = 3amz-2

বা, 3mx-1 /3 = amx—2 [উভয় পক্ষকে 3 দ্বারা ভাগ করে]

বা, 3mx-2= amx-2

বা, (a/3)mx-2 = 1 =  (a/3)0

বা, mx-2=0

বা, x= 2 /m

নির্ণেয় সমাধান, x= 2 /m

উদাহরণ ১৪

সমাধান কর:

23x-5.ax-1 = 2x-3.2a¹-x (a > 0 এবং a ≠1/2)

সমাধান 

23x-5.ax-1 = 2x-3.2a¹-x

বা, (ax-2)/(ax-z) = (2x-3.21)/ (23x-5)

বা, ax-2-1+x = 2x-3+1-3x+5

বা, a2x-3 = 2-2-2x+3

বা, a2x-3 = 1/22x+3

বা, a2x-3 . 2(2x-3) = 1

বা, (2a)2x-3=1 (2a)⁰ =

বা, 2x-3=0, 2x=3, x= 3/2

নির্ণেয় সমাধান =x= 3/2

 

উদাহরণ ১৫.

সমাধান কর:

a¯x(ax + b¯x) = (a2b2 + 1)/a2b2 (a > 0, b > 0, ab + 1)

সমাধান:

a¯x(ax + b¯x) = 1 + 1/a2b2

বা, a¯x. ax + a¯x. b¯x = 1+ 1/a2b2

বা, 1 + (ab)¯x = 1 + (ab)-2

বা, (ab)¯x= = (ab)-2

বা, – x = −2

বা, x = 2

নির্ণেয় সমাধান x = 2

উদাহরণ ১৬.

সমাধান কর:

3x+5 = 3x+3 + 8/3

সমাধান:

3x+5 = 3x+3 + 8/3

বা, 3x. 35 = 3x.33 + 8/3

বা, 3x . 36 – 3x . 34 = 8 [পক্ষান্তর করে এবং উভয় পক্ষকে 3 দ্বারা গুণ করে ]

বা, 3x . 34 (32 – 1) = 8

বা, 3x+4. 8 = 8

বা, 3x+4 = 1 = 30

বা, x+4= 0

বা, x = -4

নির্ণেয় সমাধান x = -4

 

 

উদাহরণ ১৭.

সমাধান কর: 32x–2.5.3x – 2 – 66 = 0

সমাধান:

32x–2.5.3x – 2 – 66 = 0

বা, 32x/9 -5/9.3x -66 = 0

বা, 32x – 5.3x – 594 = 0 [উভয় পক্ষকে 9 দ্বারা গুণ করে]

বা, a2 – 5a – 594 = 0 [ 3x = a ধরে]

বা, a² – 27a + 22a – 594 = 0

বা, (a-27) (a+22) = 0

এখন a ≠ – 22 কেননা a = 3x > 0 সুতরাং a +22 ≠ 0

অতএব, a – 27 = 0

বা, 3x = 27 = 3.3

বা, x = 3

নির্ণেয় সমাধান: x = 3

উদাহরণ ১৮.

সমাধান কর: a²x – (a³ + a)ax-¹ + a² = 0 (a > 0, a ≠ 1)

সমাধান

a²x – (a³ + a)ax-¹ + a² = 0

বা, a2x – a(a²+1)ax. a-¹+a² = 0

বা, a²x – (a² + 1)ax + a2 = 0

বা, p² – (a²+1)p+a² = 0 [ax = p³]

বা, p² – a²p-p+a² = 0

বা, (p-1)(p-a²) = 0

বা, p = 1 অথবা p = a2

বা, ax = 1 = a° অথবা ax = a2

বা, x = 0 অথবা x = 2

.:. নির্ণেয় সমাধান = 0,2

 

 

অনুশীলনী

সমাধান কর;

১.3x+2 = 81

২. 53x-7 = 33x-7

৩.2x-4 = 4ax-6 (a > 0, a ≠ 2)

৪.(√3)x+5 = (∛3)2x+5

৫. (5√4)4x+7 = (11√64)2x+7

৬. (33x-4.a2x-5)/3x+1 = a2x-5 (a > 0)

৭. 952x. bx-3 )/5x+3 = ax-3 (a,b > 0,5b≠a)

৮. 4x+2 = 22x+1+14

৯. 5x+5²-x = 26

১০. 3(9x-4.3x-1)+1=0

১১. 41+x+4¹-x = 10

১২. 22x-3.2x+2 = -32