দুই চলকবিশিষ্ট সূচক সমীকরণ জোট

আজকের আলোচনার বিষয়ঃ  দুই চলকবিশিষ্ট সূচক সমীকরণ জোট । যা উচ্চতর গণিতের সমীকরণ অংশের অন্তর্গত।

 

 

দুই চলকবিশিষ্ট সূচক সমীকরণ জোট

পূর্ববর্তী অংশে এক চলকবিশিষ্ট সূচক সমীকরণের সমাধান নির্ণয় সম্পর্কে আলোচনা করা হয়েছে। দুই চলকবিশিষ্ট সূচক সমীকরণ জোটের সমাধান পদ্ধতি বেশ কয়েকটি উদাহরণের মাধ্যমে তুলে ধরা হলো।

উদাহরণ ২৭.

সমাধান কর: ax+2.a2y+1 = a10, a2x.ay+1 = a9 (a ≠0)

সমাধান:

ax+2.a2y+1 = a10 ………….(1)
a2x.ay+1 = a9  ………………(2)

(1) থেকে ax+2y+3 = a10

বা, x + 2y + 3 = 10

বা, x + 2y – 7 = 0  ………….. (3)

(2) থেকে, a2x+y+1 = a9

বা 2x + y + 1 = 9

বা, 2x + y -8 = 0……….. ( 4 )

(3) ও (4) থেকে আড়গুণন পদ্ধতি অনুসারে

x/(-16+7 )  = y/(-14+80 = 1/(1-4)

বা, x/9 = y/-6 =  1/-3

বা, x/3 = y/2 =  1

বা, x = 3, y = 2

নির্ণেয় সমাধান ( 3,13) = (3, 2)

 

 

উদাহরণ ২৮

সমাধান কর: 33y-1 = 9x+y, 4x+3y = 162x+3

সমাধান:

33y-1 = 9x+y … (1)

বা, 33y-1 = (32)x+y

বা, 3y-1 = 2x+2y

বা, 2x – y + 1 = 0 …….(2)

এবং 4x+3y = 162x+3  …………… (3)

বা, 4x+3y = (42)²x+3

বা, 4x+3y=44x+6

বা, 4x+3y = (42)2x +3

বা, 3x – 3y + 6 = 0

বা, x – y + 2 = 0 — (4)

(2) ও (4) থেকে আড়গুণন পদ্ধতি অনুসারে, x/( -2+1) = y/(1 -4) = 1/(-2+1)

বা, x /-1 =y /- 3 = -1

নির্ণেয় সমাধান (x, y) – ( 1,3)

উদাহরণ ২৯

সমাধান কর  xy = yx, x = 2y

সমাধান:

xy = yx …………(1)

x = 2y ………. (2) এখানে x ≠ 0, y≠ 0

(2) থেকে x এর মান (1) এ বসিয়ে পাই, (2y)y = y2y

বা, 2y-yy = y2y

বা, y2y/yy= 22y

বা, yy= 22y

বা, y = 2

(2) থেকে, x = 4

.:. নির্ণেয় সমাধান (x,y) = (4,2)

 

 

উদাহরণ ৩০.

সমাধান কর: xy = y2, y2y =x4 যেখানে  x ≠  1

সমাধান:

xy = y2 ……………. (1)

y2y =x4 …………(2)

(1) থেকে পাই, (xy)y = (y²)y

বা, xy² = y²y …(3)

(3) ও (2) থেকে পাই,

xyy = x4

y²= 4, y=±2

এখন y = 2 হলে (1) থেকে পাই, x2 = 22 = 4

বা, x = ±2

আবার, y = -2 হলে (1) থেকে পাই, x ^-2 = (-2)2 = 4

বা, x2= 1/4

বা, x = ±1/2

.:. নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, 2), (- 2, 2), (1/2,-2), (-1/2-2)

উদাহরণ ৩১.

সমাধান কর: 8.2xy = 4y, 9x.3xy = 1/27

সমাধান:

8.2xy = 4y ………(1)

9x.3xy = 1/27 …(2)

(1) থেকে পাই, 23. 2xy = (22)y

বা, 23+xy = 22y

বা, 3 + xy = 2y … (3)

(2) থেকে পাই, (32)x.3xy =1/33

বা, 32x+xy = -3

বা, 2x + xy = – 3 …………………(4)

(3) থেকে (4) বিয়োগ করে পাই 3 – 2x = 2y + 3

বা, -x = y… (5)

(5) থেকে y এর মান (3) এ বসিয়ে পাই, 3 – x2 = – 2x

x²-2x-3=0,

বা, (x+1)(x-3)=0

x = − 1 অথবা x= 3

x = − 1 হলে (5) থেকে পাই, y = 1

x= 3 হলে (5) থেকে পাই, y = -3

নির্ণেয় সমাধান (x,y) = (-1, 1 ), ( 3, – 3)

 

 

উদাহরণ ৩২.

সমাধান কর: 18yx – y2x = 81, 3x = y2

সমাধান:

18yx – y2x = 81 ……. ( 1 )
3x = y2  …………(2)

(1) থেকে পাই, y2x= – 18yx + 81 = 0

বা, (yx – 9) 2 = 0

বা, yx – 9 = 0

বা, yx = 32… (3)

(2) থেকে পাই, (3x)x = (y²)x

বা, 3x² — y²x ……. (4)

(3) থেকে পাই, (yx)² = (32)²

বা, y²x = 34 …(5)

(4) ও (5) থেকে পাই, 3×2 = 34

বা, x2 = 4

বা, x = ±2

x = 2 হলে (2) থেকে পাই, y2 = 9

বা, y = ±3

x = −2 হলে (3) থেকে পাই, y-2 = 9

বা, y2 = 1/9

বা, y = ±1/3

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, 3), (2, -3), ( -2,1/3) · (-2,-1/3)

অনুশীলনী

সমাধান কর:

১. 2x +3y = 31

2x-3y =-23

২. 3x.9y =81

5x+y+1=25xy

৩. 3x.9y = 81

2x-y = 8

৪. 2x. 3y = 18

22x.3y= 36

৫. ax. ay+1 = a7

a2y.a3x+5 = a20

৬. yx = x2

x2z =y4

৭ .yx = 4

y2 = 2x

৮. 4x = 2y

(27)xy =y+1

৯. 8yx- y2x 16

2x = y2