সূচক সম্পর্কিত সূত্র

আজকে আমরা  সূচক সম্পর্কিত সূত্র সম্পর্কে  আলোচনা করবো  । যা উচ্চতর গণিতের  সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন অংশের অন্তর্গত।

 

 

সূচক সম্পর্কিত সূত্র

সূত্র ১.

a∈ R এবং n ∈N হলে a1 = a, an+1 = an. a.

প্রমাণ:

সংজ্ঞানুযায়ী a1 = a এবং n ∈ N এর জন্য an+1 =a.a.a….a = an. a

দ্রষ্টব্য:

N সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেট

সূত্র ২.

a∈ R এবং m, n∈N হলে am.an = am+n

প্রমাণ:

যেকোনো m∈N নির্দিষ্ট করে এবং n কে চলক ধরে খোলা বাক্য am.an = am+n … (1) বিবেচনা করি।

(1) এ n = 1 বসিয়ে পাই,

বামপক্ষ = am. al = am. a = am+1 = ডানপক্ষ [সূত্র ১]

n = 1 এর জন্য ( 1 ) সত্য।

এখন ধরি, n = k এর জন্য (1) সত্য। অর্থাৎ, am.ak = am+k

তাহলে, am. at+1 = am (ak . a) [সূত্র ১]

= (am.at) a [গুণের সহযোজন ]

= am+k. a [আরোহ কল্পনা]

= am+k+1 = [সূত্র ১]

অর্থাৎ, n = k + 1 এর জন্য (1) সত্য।

সুতরাং গাণিতিক আরোহ পদ্ধতি অনুযায়ী সকল n∈N এর জন্য (1) সত্য।

যেকোনো m,n∈N এর জন্য am.an = am+n

am.an = am+n

বর্ণিত সূত্রটিকে সূচকের মৌলিক সূত্র বলা হয়।

 

সূত্র ৩.

a∈ R, a≠ 0 এবং m, n∈ N, m ≠ n হলে

am /an = am-n, m> n …..1

am /an = 1/an-m , m <n …….2

প্ৰমাণ :

১. মনে করি, m> n তাহলে m – n ∈ N

am-n .am = a(m-n)+n = am [সূত্র ২]

= am/an = am-n [ভাগের সংজ্ঞা]

২. মনে করি, m < n তাহলে n – m∈ N

an-m.am= a(n-m)+m = an [সূত্র ২]

= am/an = 1/(an-m) [ভাগের সংজ্ঞা]

দ্রষ্টব্য:

সূত্রটি গাণিতিক আরোহ পদ্ধতিতে প্রমাণ কর [সূত্র ২ এর অনুরূপ]

সূত্র ৪

a ∈ R এবং m,n ∈ N হলে (am)n= amn

সূত্র ৫.

a, b∈ R এবং n∈N হলে (a . b)n = an. bn

[সূত্রদ্বয় আরোহ পদ্ধতিতে প্রমাণ কর]

শূন্য ও ঋণাত্মক পূর্ণ সাংখ্যিক সূচক :

সংজ্ঞা:

a∈R, a≠0 হলে,

৩. a0 = 1

8, a-n = 1/an  যেখানে n ∈ N

মন্তব্য:

সূচকের ধারণা সম্প্রসারণের সময় লক্ষ রাখা হয়, যেন সূচকের মৌলিক সূত্র am.an = am+n সকল ক্ষেত্রেই বৈধ থাকে।

সূত্রটি যদি m = 0 এর জন্য সত্য হয়, তবে a°.an = a 0+n অর্থাৎ, a° = an/an = 1 হতে হবে।

একইভাবে, সূত্রটি যদি m = -n (n ∈N) এর জন্য সত্য হতে হয়,

তবে a-n, an = a-n+n = a0 = 1 অর্থাৎ, a -n = 1/an হতে হবে। এদিকে লক্ষ রেখেই উপরের সংজ্ঞা বর্ণনা করা হয়েছে।

 

 

উদাহরণ ১.

ক) 25.26 = 25+6 = 211

খ)  35/33 = 35-3 = 32

গ) 33/35 = 1/ 35-3 = 1/32

ঘ) (5/4) = 5/4 x 5/4 x 5/4 =(5x5x5)/(4x4x4) = 53/43

ঙ) (42)7= 42×7 = 414

চ) (a²b³)5 = (a²)5 · (b³)5 = a²×5. b³×5 = a10b15

উদাহরণ ২.

ক) 60 = 1

খ) (-6)0 = 1

গ) 7-1 = 1 /7

ঘ) 7-2 = 1/72 = 1/49

ঙ) 10-1 =1 /10 = 0.1

চ) 10-2 = 1/102 = 1/100

 উদাহরণ ৩.

m,n ∈ N হলে (am)n = amn সূত্রটির সত্যতা স্বীকার করে নিয়ে দেখাও যে, (am)n = amn যেখানে a≠ 0 এবং m∈ N এবং n∈Z

সমাধান:

প্রমাণ করতে হবে, (am)n = amn… …(1)

যেখানে, a ≠ 0 এবং m∈N এবং n∈Z

ধাপ ১.

প্রথমে মনে করি, n > 0, এক্ষেত্রে (1) এর সত্যতা স্বীকার করে নেওয়া হয়েছে।

ধাপ ২.

এখন মনে করি, , n = 0 এক্ষেত্রে (am)n = (am)0 = 1 এবং, amn = a0 = 1 [‘ : n = 0 ]

(1) সত্য।

 

 

ধাপ ৩.

সবশেষে মনে করি, n <0 এবং n = −k, যেখানে k ∈ N

এক্ষেত্রে (am)n = (am)-k =1/ (am)k =a-mk = am(-k) = amn

উদাহরণ ৪.

দেখাও যে, সকল m,n ∈N এর জন্য am/an = am-n , যেখানে a≠ 0

সমাধান:

m> n হলে, am/an = am-n  [সূত্র ৩]

m < n হলে, am/an = 1/ am-n  [সূত্র ৩]

am/an = a-(m-n)[সংজ্ঞা ৪]

= am-n

m = n হলে, am/an = an/an= 1 = a° [সংজ্ঞা ৩]

= am-m = am-n

স্রষ্টব্য:

উপরে বর্ণিত সূচকের সংজ্ঞাগুলো থেকে যেকোনো mZ এর জন্য a” এর ব্যাখ্যা পাওয়া যায়, যেখানে a0। সূচক ধনাত্মক অথবা শূন্য অথবা ঋণাত্মক ধরে সাধারণভাবে সকল পূর্ণ সাংখ্যিক সূচকের জন্য নিম্নোপ্ত সূত্রটি প্রমাণ করা যায়।

সূত্র ৬.

a ≠ 0, b ≠ 0 এবং m, n ∈ Z হলে,

১. am.an = am+n

২. am/an = am-n

৩. (am)n = amn

8. (ab)n = anbn

৫. (a/b)n =  an/bn