আজকে আমাদের আলোচনার বিষয়ঃ সেট ও ফাংশনের লেখচিত্র। এটি নবম – দশম শ্রেনী গণিতের সেট ও ফাংশন এর অন্তর্গত।
সেট ও ফাংশনের লেখচিত্র (Graph of a Function)
ফাংশনের চিত্ররূপকে লেখচিত্র বলা হয়। ফাংশনের ধারণা সুস্পষ্ট করার ক্ষেত্রে লেখচিত্রের গুরুত্ব অপরিসীম। ফরাসি দার্শনিক ও গণিতবিদ রেনে দেকার্ত (Rene Descartes : 1596-1650) সর্বপ্রথম বীজগণিত ও জ্যামিতির মধ্যে সম্পর্ক স্থাপনে অগ্রণী ভূমিকা পালন করেন।
তিনি কোনো সমতলে পরস্পর লম্বভাবে ছেদী দুইটি রেখার সাহায্যে বিন্দুর অবস্থান সুনির্দিষ্টভাবে নির্ণয়ের মাধ্যমে সমতলীয় জ্যামিতিতে আধুনিক ধারা প্রবর্তন করেন। তিনি পরস্পর লম্বভাবে ছেদী সরলরেখা দুইটিকে অক্ষরেখা হিসেবে আখ্যায়িত করেন এবং অক্ষদ্বয়ের ছেদ বিন্দুকে মূলবিন্দু বলেন।
কোনো সমতলে পরস্পর লম্বভাবে ছেদী দুইটি সরলরেখা XOX’ এবং YOY’ আঁকা হলো। সমতলে অবস্থিত যেকোনো বিন্দুর অবস্থান এই রেখাদ্বয়ের মাধ্যমে সম্পূর্ণরূপে জানা সম্ভব। এই রেখাদ্বয়ের প্রত্যেকটিকে অক্ষ (axis) বলা হয়। অনুভূমিক রেখা XOX’ কে -অক্ষ, উল্লম্ব রেখা YOY’ কে থ্র-অক্ষ এবং অক্ষদ্বয়ের ছেদবিন্দু O কে মূলবিন্দু (Origin) বলা হয়।
দুইটি অক্ষের সমতলে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে অক্ষদ্বয়ের লম্ব দূরত্বের যথাযথ চিহ্নযুক্ত সংখ্যাকে ঐ বিন্দুর স্থানাঙ্ক বলা হয়। মনে করি, অক্ষদ্বয়ের সমতলে অবস্থিত P যেকোনো বিন্দু। P থেকে XOX এবং YOY’ এর উপর যথাক্রমে PN ও PM লম্ব টানি। ফলে, PM = ON যা YOY’ হতে P বিন্দুর লম্ব দূরত্ব এবং PN = OM যা XOX’ হতে P বিন্দুর লম্ব দূরত্ব। যদি PM = x এবং PN = y হয়, তবে P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (x, y)।
এখানে, x কে ভুজ (abscissa) বা x স্থানাঙ্ক এবং y কে কোটি (ordinate) বা y স্থানাঙ্ক বলা হয়। উল্লেখিত স্থানাঙ্ককে কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক বলা হয়। কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে সহজেই ফাংশনের জ্যামিতিক চিত্র দেখানো যায়। এজন্য সাধারণত অক্ষ বরাবর স্বাধীন চলকের মান ও y অক্ষ বরাবর অধীন চলকের মান বসানো হয়।
y = f(x) ফাংশনের লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য ডোমেন থেকে স্বাধীন চলকের কয়েকটি মানের জন্য অধীন চলকের অনুরূপ মানগুলো বের করে ক্রমজোড় তৈরি করি। অতঃপর ক্রমজোড়গুলো উক্ত তলে স্থাপন করি। প্রাপ্ত বিন্দুগুলো মুক্ত হস্তে রেখা টেনে যুক্ত করি, যা y = f(x) ফাংশনের লেখচিত্র।
উদাহরণ ২২.
y = 2x ফাংশনের লেখচিত্র অঙ্কন কর, যেখানে, − 3 ≤ x ≤ 3
সমাধান :
−3 < x ≤ 3 ডোমেনের x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর সংশ্লিষ্ট মান নির্ণয় করে তালিকা তৈরি করি।
|
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
y |
-6 |
-4 |
-2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
ছক কাগজে প্রতি ক্ষুদ্রবর্গের বাহুকে একক ধরে, তালিকার বিন্দুগুলি চিহ্নিত করি ও মুক্ত হস্তে যোগ করি। তাহলেই পাওয়া গেলো লেখচিত্র।
উদাহরণ ২৩.
f (y) = (y3 – 3y2 + 1)/ y(1 − y) হলে দেখাও যে f (1/y) = f(1 − y)
সমাধান:
f (y) = (y3 – 3y2 + 1)/ y(1 − y)
f (1/y) = {(1/y)3 – 3(1/y)2 +1}/(1/y)(1-1/y)
= (1-3y+y³)/y3 x y2(y-1)
= (1-3y+y³)/y2(y-1) = (1-3y+y³)/ y(y-1)
আবার, f(1 – y) = {(1 − y)³-3(1 − y)²+1}/ (1-y)(1-(1-y))
= {1-3y+3y² – y³ − 3(1 − 2y + y²) +1} (1 − y)(1-1+y)
= {1-3y+3y² – y³-3+6y-3y²+1 }/y(1 – y)
= (-1+3y-y³)/y(1 − y) = {-(1-3y+y³)}/-y(y-1)
= (1-3y+y³ )/y(y-1)
= f(1 /2) = f(1 – y) দেখানো হল ।
উদাহরণ ২৪.
সার্বিক সেট U = {x : x ∈ N এবং x ≤ 6}, A = {x : x মৌলিক সংখ্যা এবং <5}, B = {x : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 6} এবং C = A \ B
ক) A° নির্ণয় কর
খ) AUB = (A\B) U (B\ A)u(ANB) 1) Cate, (ANC) x B = (Ax B) n (Cx B)
সমাধান :
ক) দেওয়া আছে, U = {x: x ∈N এবং x ≤ 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6 )
A = {x : x মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 5} = {2, 3, 5}
Ac = U \ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}{2, 3, 5} = {1,4,6}
খ) দেওয়া আছে,
B = {x: x R x ≤ 6} = {2,4,6}
AUB = {2, 3, 5} U (2, 4, 6} = {2, 3, 4, 5, 6) ………..(1)
A\B= {2, 3, 5} – {2,4,6} = {3,5}
B\A (2,4,6} – {2,3,5} = {4,6}
AnB (2,3,5) ∩ {2,4,6} = {2}
(A\B)U (B\A) U (A∩B) = {3, 5} U {4,6} U {2} = {2,3,4,5,6) …………. (2)
সুতরাং (1) ও (2) তুলনা করে পাই,
AUB (A\B) U (B\A)U(A∩B)
গ) (2) হতে পাই,
C=A\B (3,5} A∩C = (2,3,5} ∩ (3,5) = {3,5)
(A∩C) x B = {3,5} x {2,4,6}
= {(3,2), (3, 4), (3, 6), (5, 2), (5, 4), (5, 6)} ………… (3)
A x B = {2,3, 5} × {2,4,6}
= {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (3,2), (3, 4), (3, 6), (5, 2), (5, 4), (5, 6)}
CxB= {3,5) x (2,4,6}
= {(3,2), (3, 4), (3, 6), (5, 2), (5, 4), (5, 6)}
(Ax B) ∩(Cx B)
= {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (5, 2), (5, 4), (5, 6)} {(3,2), (3, 4), (3, 6), (5, 2), (5, 4), (5, 6)}
= {(3,2), (3, 4), (3, 6), (5, 2), (5, 4), (5, 6)} ………………. (4)
সুতরাং (3) ও (4) তুলনা করে পাই,
(A∩C) x B = (A x B) ∩ (C x B)
= {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (5, 2), (5, 4), (5, 6)} ∩ {(3,2), (3,4), (3, 6), (5, 2), (5, 4), (5, 6)}
= {(3,2), (3, 4), (3, 6), (5, 2), (5, 4), (5, 6)} (4)
সুতরাং (3) ও (4) তুলনা করে পাই,
( A∩C) x B = ( A x B ) ∩ (C x B)
উদাহরণ ২৫.
A = {4, 5, 6, 7}, B = {0, 1, 2, 3} এবং R = {(x, y) : x ∈ A, y ∈ A এবং y = x + 1}
ক) দেখাও যে, A ও B সেটদ্বয় পরস্পর নিশ্ছেদ সেট।
খ) P(B) নির্ণয় করে দেখাও যে P(B) এর উপাদান সংখ্যা 2” কে সমর্থন করে, যেখানে এর উপাদান সংখ্যা । n, B
গ) R অন্বয়টিকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করে তার ডোমেন নির্ণয় কর।
সমাধান :
ক) দেওয়া আছে, A = { 4, 5, 6, 7} এবং B = {0, 1, 2, 3} .. An B = {4, 5, 6, 7} {0, 1, 2, 3} = 0 যেহেতু AnB =
সুতরাং, A ও B সেটদ্বয় পরস্পর নিশ্ছেদ সেট ।
খ) দেওয়া আছে,
B = {0, 1, 2, 3}
P(B) = {{0},{1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0.3}, {1, 2}, {1,3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1,3}, {0, 2, 3}, {1, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}, ∅}
এখানে B এর উপাদান সংখ্যা 4 এবং এর শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা 24 = 16
.:. B এর উপাদান সংখ্যা n হলে এর শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা হবে 2n।
P(B) এর উপাদান সংখ্যা 2n সূত্রকে সমর্থন করে।
গ) দেওয়া আছে, R = {(x, y) : x ∈ A, y ∈ A এবং y = x + 1} এবং A = {4, 5, 6, 7} R এর বর্ণিত শর্ত থেকে পাই, y = x + 1
এখন, প্রত্যেক ∈ A এর জন্য y = x + 1 এর মান নির্ণয় করে একটি তালিকা তৈরি করি।
যেহেতু 8 ∉ A, কাজেই ( 7, 8 ) ∉ R
R= {(4,5), (5, 6), (6,7)}
ডোম R = {4,5,6}
আরও দেখুনঃ
