বিশেষ কিছু কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

আজকে আমাদের আলোচনার বিষয়ঃ বিশেষ কিছু কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ।  এটি নবম – দশম শ্রেনী গণিতের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এর অন্তর্গত।

 

 

বিশেষ কিছু কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

30°, 45° ও 60° কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত জ্যামিতিক উপায়ে 30°, 45° ও 60° পরিমাপের কোণ আঁকতে শিখেছি। এ সকল কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রকৃত মান জ্যামিতিক পদ্ধতিতে নির্ণয় করা যায়।

30° ও 60° কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত:

মনে করি, ∠XOZ = 30° এবং OZ বাহুতে P একটি বিন্দু। PM ⊥ OX আঁকি এবং PM কে Q পর্যন্ত বর্ধিত করি যেন MQ = PM হয়। 0, Q যোগ করে Z পর্যন্ত বর্ধিত করি। এখন ∆POM ও ∆QOM এর মধ্যে PM = QM

OM সাধারণ বাহু এবং

অন্তর্ভুক্ত ∠PMO = অন্তর্ভুক্ত ∠QMO = 90°

∆POM ≌ ∆QOM

অতএব, ∠QOM = ∠POM = 30°

এবং ∠OQM = ∠OPM = 60°

আবার, ∠POQ = ∠POM + ∠QOM = 30° + 30° = 60°

.:. ∆OPQ একটি সমবাহু ত্রিভুজ।

যদি OP = 2a হয়, তবে PM = 2PQ = ½OP = a [যেহেতু ∆OPQ একটি সমবাহু ত্রিভুজ]

সমকোণী ∆OPM হতে পাই,

OM = √(OP2 – PM2) = √(4a2 – a2) = √3a

 

 

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ বের করি:

sin 30° = PM/ОР = a/2a = 1/2, cos 30° = OM/OP = √3/2a = √3/2

tan 30° = PM/OM =a/√3a = 1/√3

cosec 30° = OP/PM = 2a/a = 2, sec 30° = OP/OM = 2a/√3a =2/√3

cot 30° = OM/PM = √3a/a = √3

একইভাবে,

sin 60° = OM/OP = √3a/2a = √3, cos 60° = PM/OP = a/2a = 1/2

tan 60° = OM/PM = √3a/a = √3

cosec 60° = OP/OM = 2a/√3a = 2/√3, sec 60°= OP/PM = 2a/a = 2,

cot 60° = PM/OM = a/√3a  = 1/√3

45° কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

মনে করি, ∠XOZ = 45° এবং P, OZ এর উপরস্থ একটি বিন্দু। PM ⊥ OX আঁকি।

∆OPM সমকোণী ত্রিভুজে ∠POM = 45°

সুতরাং, ∠OPM = 45°

অতএব, PM = OM = a ( মনে করি)

এখন, OP² = OM² + PM² = a² + a² = 2a2

বা, OP = √2a

 

 

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের সংজ্ঞা থেকে আমরা পাই,

sin 45° = PM/OP = a/√2a = 1/√2, cos 45° = OM/OP = a/√2a = 1/√2

tan 45° = PM/OM = а/a = 1

cosec 45° = 1/sin 45° = √2, sec 45° = 1/cos 45° = √2 ,

cot 45° = 1/tan 45° = 1

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

আমরা জানি যে, দুইটি সূক্ষ্মকোণের পরিমাপের সমষ্টি 90° হলে, এদের একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলা হয়। যেমন, 30° ও 60° এবং 15° ও 75° পরস্পর পূরক কোণ।

সাধারণভাবে, ৪ কোণ ও ( 90° – ৪) কোণ পরস্পরের পূরক কোণ।

মনে করি, ∠XOY B এবং P এই কোণের OY বাহুর উপর একটি বিন্দু। PM ⊥ OX আঁকি।

 

 

যেহেতু ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ, অতএব, POM সমকোণী ত্রিভুজে PMO = 90° এবং  ∠OPM + ∠POM = এক সমকোণ = 90°

∠OPM = 90° – ∠POM = 90° – 8  [যেহেতু ∠POM = ∠XOY = 0 ]

sin (90° – 8) = OM/OP = cos ∠POM = cos8

cos (90° – 8) = PM/OP = sin ∠POM = sin8

tan ( 90° – 8 ) = OM/PM = cot ∠POM = cot8

cot (90° – 8) = PM/OM = tan ∠POM = tan8

sec ( 90° – 8) = OP/PM = cosec ∠POM = cosec8

cosec ( 90° – 8) = OP/OM = sec ∠POM = sec8

উপরের সূত্রগুলো নিম্নলিখিতভাবে কথায় প্রকাশ করা যায়:

পূরক কোণের sine = কোণের cosine

পূরক কোণের cosine = কোণের sine

পূরক কোণের tangent = কোণের cotangent ইত্যাদি।

0° ও 90° কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

আমরা সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ ৪ এর জন্য ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলো নির্ণয় করতে শিখেছি। এবার দেখি, কোণটি ক্রমশঃ ছোট করা হলে ত্রিকোণমিতির অনুপাতগুলো কীরূপ হয়। ৪ কোণটি যতই ছোট হতে থাকে, বিপরীত বাহু PN এর দৈর্ঘ্য ততই ছোট হয়। P বিন্দুটি N বিন্দুর নিকটতর হয় এবং অবশেষে ৪ কোণটি যখন 0° এর খুব কাছে অবস্থিত হয়, OP প্রায় ON এর সাথে মিলে যায়।

 

 

যখন ৪ কোণটি 0° এর খুব নিকটে আসে PN রেখাংশের দৈর্ঘ্য শূন্যের কোঠায় নেমে আসে এবং এক্ষেত্রে sin8 = PN/OP এর মান প্রায় শূন্য। একই সময়, ৪ কোণটি 0° এর খুব কাছে এলে OP এর দৈর্ঘ্য প্রায় ON এর দৈর্ঘ্যের সমান হয় এবং cos8 = OP/ON এর মান প্রায় 1

ত্রিকোণমিতিতে আলোচনার সুবিধার্থে 0° কোণের অবতারণা করা হয় এবং প্রমিত অবস্থানে 0° কোণের প্রান্তীয় বাহু ও আদি বাহু একই রশ্মি ধরা হয়। সুতরাং পূর্বের আলোচনার সঙ্গে সামঞ্জস্য রেখে বলা হয় যে, cos 0° = 1, sin 0° = 0

8 সূক্ষ্মকোণ হলে আমরা দেখেছি

tan8 = sin8/cos8,  cot8 = cos8/sin8

sec8 = 1/cos8,  cosec8 = 1/sin8

0° কোণের জন্য সম্ভাব্য ক্ষেত্রে এ সম্পর্কগুলো যাতে বজায় থাকে সে দিকে লক্ষ রেখে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

tan 0° = sin 0°/cos 0° = 0/1 = 0

sec 0° = 1/cos0° = 1/1 = 1

0 দ্বারা ভাগ করা যায় না বিধায় cosec 0° ও cot 0° সংজ্ঞায়িত করা যায় না।

 

 

আবার, যখন ৪ কোণটি 90° এর খুব কাছে, অতিভুজ OP প্রায় PN এর সমান। সুতরাং, sin8 এর মান প্রায় 1। অন্যদিকে, ৪ কোণটি প্রায় 90° এর সমান হলে ON শূন্যের কাছাকাছি; cos 8 এর মান প্রায় 0

সুতরাং, পূর্বে বর্ণিত সূত্রের সঙ্গে সামঞ্জস্য রেখে বলা হয় যে, cos 90° = 0, sin 90° = 1

cot 90° = cos 90°/sin 90° = 0/1 = 0

cosec 90° = 1/sin 90 ° = 1/1 = 1

পূর্বের ন্যায় 0 দ্বারা ভাগ করা যায় না বিধায় tan 90° ও sec 90° সংজ্ঞায়িত করা যায় না।

দ্রষ্টব্য :

ব্যবহারের সুবিধার্থে 0, 30, 45, 60° ও 90° কোণগুলোর ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলোর মান নিচের ছকে দেখানো হলো

অনুপাত/কোণ	0°	30°	45°	60°	90°
sine	0	1/2	1/√2	√3/2	1
cosine	1	√3/2	1/√2	1/2	0
tangent	0	1/√3	1	√3	অসংজ্ঞায়িত
cotangent	অসংজ্ঞায়িত	√3	1	1/√3	0
secant	1	2/√3	√2	2	অসংজ্ঞায়িত
cosecant	অসংজ্ঞায়িত	2	√2	2/√3	0

 

লক্ষ করি:

নির্ধারিত কয়েকটি কোণের জন্য ত্রিকোণমিতিক মানসমূহ মনে রাখার সহজ উপায়।

(i) 0, 1, 2, 3 এবং 4 সংখ্যাগুলোর প্রত্যেকটিকে 4 দ্বারা ভাগ করে ভাগফলের বর্গমূল নিলে যথাক্রমে sin 0°, sin 30°, sin 45°, sin 60° এবং sin 90° এর মান পাওয়া যায়।

(ii) 4, 3, 2, 1 এবং 0 সংখ্যাগুলোর প্রত্যেকটিকে 4 দ্বারা ভাগ করে ভাগফলগুলোর বর্গমূল নিলে যথাক্রমে cos 0°, cos 30°, cos 45°, cos 60° এবং cos 90° এর মান পাওয়া যায়।

(iii) 0, 1, 3 এবং 9 সংখ্যাগুলোর প্রত্যেকটিকে ও দ্বারা ভাগ করে ভাগফলগুলোর বর্গমূল নিলে যথাক্রমে tan 0°, tan 30°, tan 45° এবং tan 60° এর মান পাওয়া যায়। (উল্লেখ্য যে, tan 90° সংজ্ঞায়িত নয়)।

(iv) 9, 3, 1 এবং 0 সংখ্যাগুলোর প্রত্যেকটিকে ও দ্বারা ভাগ করে ভাগফলগুলোর বর্গমূল নিলে যথাক্রমে cot 30, cot 45, cot 60° এবং cot 90° এর মান পাওয়া যায়। (উল্লেখ্য যে, cot 0° সংজ্ঞায়িত নয়)।

 

 

উদাহরণ ১৩.

মান নির্ণয় কর:

ক) (1 / sin245°)/(1 + sin245°)  + tan245°

খ) cot 90°. tan 0. sec 30°. cosec 60°

গ) sin 60°. cos 30° + cos 60°. sin 30°

ঘ) (1 – tan260°)/( 1+tan260°) + sin²60°

সমাধান :

ক) প্রদত্ত রাশি = (1 / sin245°)/(1 + sin245°)  + tan245°

= 1 – ( 1/√2 )2 / 1 + ( 1/√2 )2  + (1)2 [ sin 45° = 1/√2 ও tan 45° = 1]

= (1 –  1/2 ) / (1 + 1/2 )  + (1)2 = (1/2)/(3/2) + 1 = 1/3 + 1 = 4/3

খ) প্রদত্ত রাশি = cot 90°. tan 0. sec 30°. cosec 60°

0.0.  2/√3 . 2/√3 = 0

[ cot 90° = 0, tan 0° = 0, sec 30° = 2/√3, cosec 60° = 2/√3 ]

গ) প্রদত্ত রাশি = = sin 60° cos 30° + cos 60°. sin 30°

= √3/2. √3/2 + 1/2. 1/2

[..: sin 60° = cos 30° = √3/2, cos 60° = sin 30° 1/2]

= 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1

ঘ) প্রদত্ত রাশি = (1 – tan260°)/( 1+tan260°) + sin²60

= 1- (√3)2 1/1+ (√3)2 + (√3/2) 2 [ tan 60° = √3, sin 60° = √3/2

=(1-3)/(1+3)+3/4 = -2/4 +3/4

= -2+3/4

=  1/4

 

 

উদাহরণ ১৪.

ক) √2cos (A-B) = 1, 2sin (A+B) = √3 এবং A, B সূক্ষ্মকোণ হলে, A ও B এর মান নির্ণয় কর।

খ)  (cos A – sin A)/( cos A + sin A)  = (1-√3)/(1+√3) হলে, A এর মান নির্ণয় কর।

গ) A = 45° প্রমান কর যে , cos 2A = (1- tan² A)/( 1+tan2 A)

ঘ) সমাধান কর: 2cos 20 + 3sin 0 – 3 = 0, যেখানে 0 সূক্ষ্মকোণ।

সমাধান :

√2cos (A – B) = 1

বা, cos (A – B) = 1/√2

বা, cos (A – B) = cos 45° [. cos 45° = 1/√2]

A – B = 45°…(1) R

এবং 2sin (A+B) = √3

বা, sin (A+B) = √3/2

বা, sin (A+B)=sin 60° [. sin 60° = √3/2]

A + B = 60°… (2)

(1) ও (2) নং যোগ করে পাই,

2A = 105⁰

A= 105⁰/2 = 52 1/2⁰

আবার, (2) হতে (1) বিয়োগ করে পাই,

2B = 15⁰

.. B = 15⁰/2 = 71/2⁰

নির্ণেয় A = 52 1/2⁰,  B = 71/2⁰

খ)  (cos A – sin A)/( cos A + sin A)  = (1-√3)/(1+√3)

বা, (cos A – sin A+ cos A + sin A)/( cos A -sin A – cos A – sin A) = (1-√3+1+√3 )/(1-√3-1-√3 )[যোজন-বিয়োজন করে]

বা, 2cos A/-2sin A =  2/-2√3

বা, cos A/sin A  = 1/√3

বা, cot A = cot 60°

.. A = 60°

 

গ) দেওয়া আছে, A = 45°

প্রমাণ করতে হবে, cos 2A =  (1- tan2 A )/(1+tan2 A)

বামপক্ষ = cos 2A

= cos (2 x 45°) = cos 90° = 0

ডানপক্ষ = (1- tan2 A )/(1 + tan² A)

= (1 – tan245°)/(1+tan245°) = 1 – (1)2/ 1+ (1)2

=0/2 = 0

বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

ঘ) প্রদত্ত সমীকরণ, 2cos 20 + 3sin 8 – 3 = 0

বা, 2(1 sin20) + 3sin 0 – 3 = 0

বা, 2(1 + sin28)(1 − sin )-3(1 − sin 0) = 0

বা, (1 sin 0) {2(1 + sin 0) – 3} = 0

বা, (1-sin 0) {2sin 0 -1} = 0

1-sin 0 = 0

বা, sin 0 = 1

বা, sin 0 = sin 90°

বা, ৪ = 90°

অথবা,

বা, 2sin 0-1 = 0

বা, 2sin 0 = 1

বা, sin০ = ১/২

বা, sin 0 = sin 30° ,

বা, ০ = 30°

যেহেতু 0 সূক্ষ্মকোণ, সেহেতু, 0 = 30°।