আজকে আমাদের আলোচনার বিষয়ঃ ধারার বিভিন্ন সূত্র। এটি নবম – দশম শ্রেনী গণিতের সসীম ধারার অন্তর্গত।
ধারার বিভিন্ন সূত্র
প্রাত্যহিক জীবনে ‘ক্রম’ বহুল প্রচলিত একটি শব্দ। যেমন দোকানের তাকে ভোগ্যপণ্য সাজাতে, নাটক – ও অনুষ্ঠানের ঘটনাবলী সাজাতে, গুদামঘরে সুন্দরভাবে দ্রব্যাদি রাখতে ক্রমের ধারণা ব্যবহৃত হয়। আবার অনেক কাজ সহজে এবং দৃষ্টিনন্দনভাবে সম্পাদন করতে আমরা বড় হতে ছোট, শিশু হতে বৃদ্ধ, হালকা হতে ভারী ইত্যাদি বিভিন্ন ধরনের ক্রম ব্যবহার করি। এই ক্রমের ধারণা হতেই বিভিন্ন প্রকার গাণিতিক ধারার উদ্ভব হয়েছে।
কোনো অনুক্রমের পদগুলো পরপর + চিহ্ন দ্বারা যুক্ত করলে একটি ধারা (Series) পাওয়া যায়। যেমন, 1 + 3 + 5 + 7 + … একটি ধারা। ধারাটির পরপর দুইটি পদের পার্থক্য সমান। আবার 2+4+8+16+… একটি ধারা। এর পরপর দুইটি পদের অনুপাত সমান। সুতরাং, যেকোনো ধারার পরপর দুইটি পদের মধ্যে সম্পর্কের উপর নির্ভর করে ধারাটির বৈশিষ্ট্য। ধারাগুলোর মধ্যে গুরুত্বপূর্ণ দুইটি ধারা হলো সমান্তর ধারা ও গুণোত্তর ধারা ।
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি নির্ণয়
মনে করি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি Sn।
অর্থাৎ, Sn = 12 +2² +32 + …… +n²
আমরা জানি,
r3-3r2+3r-1 = (r-1)3
r³ — (r− 1)3 = 3r² – 3r+1
উপরের অভেদটিতে, r = 1, 2, 3, n বসিয়ে পাই, …
13 – 03 = 3.12 – 3.1 + 1
23 – 13 = 3.22 – 3.2 + 1
33 – 23 = 3.32 – 3.3 + 1
n³ = (n-1)3 = 3. n² – 3. n+1
যোগ করে পাই,
n³-03 = 3(12+22+32 + ··· +n²)-3(1+2+3+…. + n) + (1+1+1 + ··· + 1)
n³ = 3Sn – 3n(n + 1)/ 2 + n [1+2+3+ n(n+1)]
বা, 3Sn = n³ + 3n(n + 1)/ 2 -n
= (2n³+3n² + 3n – 2n)/2 = (2n³ + 3n² + n)/2 = n(2n² + 3n+1) /2
= n(2n² + 2n + n + 1)/2 = n{2n(n + 1) +1(n + 1)}/2
বা, 3Sn = n(n + 1)(2n+1)/ 2
Sn = n(n + 1)(2n+1) 6
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি নির্ণয়
মনে করি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি S
অর্থাৎ, Sn = 13 + 23 + 33 + … + n3
আমরা জানি, (r + 1)2 – (r – 1 ) 2 = (r 2 + 2r + 1 ) – ( 2 – 2r + 1) = 4r
বা, (r + 1 ) 2r2 – r2 (r – 1 ) 2 = 4r. r2 = 4r3 [ উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা গুণ করে ]
উপরের অভেদটিতে, r = 1, 2, 3, ,n বসিয়ে পাই,
22.12 – 12.02 = 4.13
32.22 – 22.12 = 4.23
42.32 – 32.22 = 4.33
….. …… ……
…… …… ……
যোগ করে পাই,
(n+1)². n² – 12.0² = 4(1³ +23 +33 + ··· + n³)
বা, (n + 1)². n² = 4Sn
বা, Sn = n² (n + 1)²/ 4
Sn = {n(n + 1)/2}2
প্রয়োজনীয় সূত্র
১. 1+2+3+· ··· + n = n(n + 1)/2
২. 12 + 22 + 32 + …..+n2 = n(n + 1)(2n+1)/6
৩. 13+23+33 + …. + = {n(n + 1)/2}2
বিশেষ দ্রষ্টব্য :
13 +23 +33 + ··· + n³ = (1+2+3+ ··· + n)²