চক্রবৃদ্ধি মুনাফা

আজকে আমাদের আলোচনার বিষয়ঃ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা । এটি অষ্টম শ্রেনী গণিতের মুনাফা অংশের অন্তর্গত।

 

 

চক্রবৃদ্ধি মুনাফা

চক্রবৃদ্ধি মুনাফার ক্ষেত্রে প্রত্যেক বছরের শেষে মূলধনের সাথে মুনাফা যোগ হয়ে নতুন মূলধন হয় । যদি কোনো আমানতকারী ব্যাংকে ১০০০ টাকা জমা রাখেন এবং ব্যাংক তাঁকে বার্ষিক ১২% মুনাফা দেয়, তবে আমানতকারী বছরান্তে ১০০০ টাকার ওপর মুনাফা পাবেন ।

১০০০ টাকার ১২% বা ১০০০ এর ১২/১০০ টাকা= ১২০ টাকা ।

তখন, ২য় বছরের জন্য তার মূলধন হবে (১০০০ + ১২০) টাকা, বা ১১২০ টাকা, যা তাঁর চক্রবৃদ্ধি মূলধন । ২য় বছরান্তে ১১২০ টাকার ওপর ১২% মুনাফা দেওয়া হবে ।

১১২০ টাকার ১২% = ১১২০ x  ১২/১০০ টাকা = ৬৭২/৫ টাকা

= ১৩৪.৪০ টাকা

.:. ৩য় বছরের জন্য আমানতকারীর চক্রবৃদ্ধি মূলধন হবে (১১২০ + ১৩৪.৪০) টাকা

= ১২৫৪.৪০ টাকা ।

এভাবে প্রতি বছরান্তে ব্যাংকে আমানতকারীর মূলধন বাড়তে থাকবে । এই বৃদ্ধিপ্রাপ্ত মূলধনকে বলা হয় চক্রবৃদ্ধি মূলধন বা চক্রবৃদ্ধি মূল । আর প্রতি বছর বৃদ্ধিপ্রাপ্ত মূলধনের ওপর যে মুনাফা হিসাব করা হয়, একে বলে চক্রবৃদ্ধি মুনাফা। তবে এ মুনাফা নির্ণয় তিন মাস, ছয় মাস বা এর চেয়ে কম সময়ের জন্যও হতে পারে ।

 

 

চক্রবৃদ্ধি মূলধন ও মুনাফার সূত্র গঠন :

ধরা যাক, প্রারম্ভিক মূলধন বা আসল P এবং বার্ষিক মুনাফার হার r

১ম বছরান্তে চক্রবৃদ্ধি মূলধন = আসল + মুনাফা

= P + P x r

= P(1+r)

২য় বছরান্তে চক্রবৃদ্ধি মূলধন = ১ম বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন + মুনাফা

= P(1+r) + P(1+r) x r

= P(1+r) (1+r)

= P(1+r)2

৩য় বছরান্তে চক্রবৃদ্ধি মূলধন = ২য় বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন + মুনাফা

= P(1+r)2 + P(1+r)2xr

= P(1+r)± (1+r)

= P(1+r)

লক্ষ করি :

১ম বছরান্তে চক্রবৃদ্ধি মূলধনে (1+r) এর সূচক 1

২য় ছরান্তে চক্রবৃদ্ধি মূলধনে (1+r) এর সূচক 2

৩য় ছরান্তে চক্রবৃদ্ধি মূলধনে (1+r) এর সূচক 3

:: n বছরান্তে চক্রবৃদ্ধি মূলধনে হবে (1+ r) এর সূচক n

n বছরান্তে চক্রবৃদ্ধি মূলধন C হলে, C = P(1+r)n

আবার, চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = চক্রবৃদ্ধি মূলধন – প্রারম্ভিক মূলধন = P(1+r)n – P

 

 

সূত্র :

চক্রবৃদ্ধি মূলধন C = P(1+r)n

চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = C –P= P(1+r)n-P

এখন, চক্রবৃদ্ধি মুনাফা সম্পর্কে আলোচনার শুরুতে যে মূলধন ১০০০ টাকা এবং মুনাফা ১২% ধরা হয়েছিল, সেখানে চক্রবৃদ্ধি মূলধনের সূত্র প্রয়োগ করি :

১ম বছরান্তে চক্রবৃদ্ধি মূলধন = P(1+r)

= ১০০০ × + (১ + ১২/১০০ ) টাকা

= ১০০০ × (১ + 0.১২ ) টাকা

= ১০০০ × ১.১২ টাকা

= ১১২০ টাকা

২য় বছরান্তে চক্রবৃদ্ধি মূলধন = P(1+r) 2

= ১০০০ × (১ + ১২/১০০)২ টাকা

= ১০০০ × (১ + ০.১২) টাকা

= ১০০০ × (১.১২) ২ টাকা

= ১০০০ × ১.২৫৪৪ টাকা

= ১২৫৪.৪০ টাকা ।

৩য় বছরান্তে চক্রবৃদ্ধি মূলধন = P (১ + r)৩

= ১০০০ × (১ + ১২/১০০)৩ টাকা

= ১০০০ × (১ + ০.১২)৩ টাকা

= ১০০০ × (১.১২)৩ টাকা

= ১০০০ × ১.৪০৪৯২৮ টাকা

= ১৪০৪.৯৩ টাকা (প্রায়)।

 

 

উদাহরণ ১।

বার্ষিক শতকরা ৮ টাকা মুনাফায় ৬২৫০০ টাকার ৩ বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন নির্ণয় কর ।

সমাধান :

আমরা জানি, C = P (১ + r)n

দেওয়া আছে, প্রারম্ভিক মূলধন, P = ৬২৫০০ টাকা

বার্ষিক মুনাফার হার, r = ৮%

এবং সময় n = ৩ বছর

C = ৬২৫০০ × (১ + ৮/১০০) টাকা, বা ৬২৫০০× (২৭/২৫) টাকা

= ৬২৫০০ × (১.০৮)৩ টাকা

= ৬২৫০০ × ১.২৫৯৭১২ টাকা

= ৭৮৭৩২ টাকা

.. চক্রবৃদ্ধি মূলধন ৭৮৭৩২ টাকা ।

উদাহরণ ২।

বার্ষিক ১০.৫০% মুনাফায় ৫০০০ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মুনাফা নির্ণয় কর । সমাধান : চক্রবৃদ্ধি মুনাফা নির্ণয়ের জন্য প্রথমে চক্রবৃদ্ধি মূলধন নির্ণয় করি ।

আমরা জানি, চক্রবৃদ্ধি মূলধন C = P (১ + r)n, যেখানে মূলধন P = ৫০০০ টাকা,

মুনাফার হার r = ১০.৫০% = ২১

সময়, n = ২ বছর

C = P(1+r) 2

= ৫০০০ × (১ + ২১/২০০)২ টাকা

= ৫০০০ × (২২১/২০০)২ টাকা

= ৫০০০ × ২২১/২০০ ×২২১/২০০ টাকা

= ৪৮৮৪১/৮ টাকা

বা ৬১০৫.১৩ টাকা (প্রায়)

:. চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = C-P = P(1+r)2— P

= (৬১০৫.১৩ – ৫০০০) টাকা

= ১১০৫.১৩ টাকা (প্রায়)

 

 

উদাহরণ ৩।

একটি ফ্ল্যাট মালিক কল্যাণ সমিতি আদায়কৃত সার্ভিস চার্জ থেকে উদ্বৃত্ত ২০০০০০ টাকা ব্যাংকে ছয় মাস অন্তর চক্রবৃদ্ধি মুনাফাভিত্তিক স্থায়ী আমানত রাখলেন । মুনাফার হার বার্ষিক ১২ টাকা হলে, ছয় মাস পর ঐ সমিতির হিসাবে কত টাকা মুনাফা জমা হবে ? এক বছর পর চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত হবে ?

সমাধান :

দেওয়া আছে, মূলধন P = ২০০০০০ টাকা,

মুনাফার হার r = ১২%, সময় n = ৬ মাস বা ১/২বছর

মুনাফা I = Prn

= ২০০০০০ × ১২/১০০ × ১/২

= ১২০০০ টাকা

৬ মাস পর মুনাফা হবে ১২০০০টাকা

১ম ছয় মাস পর চক্রবৃদ্ধিমূল = (২০০০০০+১২০০০) টাকা = ২১২০০০ টাকা

আবার, পরবর্তী ছয় মাসের মুনাফা-আসল =  ২১২০০০ (১ + ১২/১০০ × ১/২ ) টাকা = ২১২০০০ × ১.০৬ টাকা = ২২৪৭২০ টাকা

১ বছর পর চক্রবৃদ্ধি মূলধন হবে ২২৪৭২০ টাকা ।

উদাহরণ ৪ ।

কোনো শহরের বর্তমান জনসংখ্যা ৮০ লক্ষ । ঐ শহরের জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার প্রতি হাজারে ৩০ হলে, ৩ বছর পর ঐ শহরের জনসংখ্যা কত হবে?

সমাধান :

শহরটির বর্তমান জনসংখ্যা, P = ৮০০০০০০

জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার, r= ৩০/১০০০ × ১০০% = ৩%

সময়, n = ৩ বছর ।

এখানে জনসংখ্যা বৃদ্ধির ক্ষেত্রে চক্রবৃদ্ধি মূলধনের সূত্র প্রযোজ্য ।

C= P(1+r)n

= ৮০,০০,০০০ × (১ + ৩/১০০) জন

= ৮০,০০,০০০ × ১০৩/১০০ × ১০৩/১০০ × ১০৩/১০০ জন

= ৮ × ১০৩ × ১০৩ × ১০৩ জন

= ৮৭৪১৮১৬ জন

৩ বছর পর শহরটির জনসংখ্যা হবে ৮৭,৪১,৮১৬ জন

উদাহরণ ৫ ।

মনোয়ারা বেগম তার পারিবারিক প্রয়োজনে ৬% হারে x টাকা এবং ৪% হারে y টাকা ঋণ নিল । সে মোট ৫৬০০০ টাকা ঋণ নিল এবং বছর শেষে ২৮৪০ টাকা মুনাফা শোধ করল।

ক. সম্পূর্ণ ঋণের উপর ৫% মুনাফা প্রযোজ্য হলে বার্ষিক মুনাফা কত?

খ. x এবং y এর মান নির্ণয় কর ।

গ. সম্পূর্ণ ঋণের উপর ৫% চক্রবৃদ্ধি মুনাফা প্রযোজ্য হলে ২ বছর পর মনোয়ারা বেগমকে কত টাকা মুনাফা পরিশোধ করতে হবে?

সমাধান :

(ক)মোট ঋণের পরিমান, P = ৫৬০০০ টাকা

মুনাফার হার r = 5%

সময় n = ১ বছর

এখন মুনাফা I=Pnr

= (৫৬০০০ × ১ × ৫/১০০)

= ২৮০০ টাকা

.:. নির্ণেয় বার্ষিক মুনাফা ২৮০০ টাকা

(খ) ৬% হার মুনাফায় x টাকার বার্ষিক মুনাফা = ( x × ১ × ৬/১০০) টাকা  = ৬x/১০০ টাকা

আবার ৪% হার মুনাফায় y টাকার বার্ষিক মুনাফা = ( y × 1 × ৪/১০০) টাকা = ৪y/১০০ টাকা

এখন উদ্দীপকের তথ্যানুসারে x+y = ৫৬০০০ …………(i)

৬x/১০০ + ৪y/১০০ =  ২৮৪০

বা ৬x + ৪y = ২৮৪০০০

বা ৩x + ২y = ১৪২০০০ ………… (ii)

এখন, (i) নং সমীকরণকে ৩ দ্বারা গুন করে গুনফল থেকে

(ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করি

৩x + ৩y = ১৬৮০০০
৩x + ২y = ১৪২০০০

y = ২৬০০০

y এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই x=৩০,০০০

:. x = ৩০,০০০ এবং y = ২৬,০০০

(গ) মনোয়ারার ঋণের পরিমান P = ৫৬,০০০ টাকা

মুনাফার হার r = ৫%

সময় n = ২ বছর

এখন, চক্রবৃদ্ধির ক্ষেত্রে সবৃদ্ধিমূল = P (১ + r)n

২ বছর পর মনোয়ারার ঋণের সবৃদ্ধিমূল = ৫৬০০০ (১+ ৫/১০০)২ টাকা

= ৫৬০০০× (১+.০৫)২ টাকা

= ৫৬০০০x (১.০৫)২ টাকা

= ৬১৭৪০ টাকা

মনোয়ারা মুনাফা পরিশোধ করবেন (৬১৭৪০-৫৬০০০) টাকা

= ৫৭৪০ টাকা