আজকে আমাদের আলোচনার বিষয়ঃ ভগ্নাংশের বিয়োগ ।এটি অষ্টম শ্রেনী গণিতের বীজগণিতীয় ভগ্নাংশের অন্তর্গত।
ভগ্নাংশের বিয়োগ
দুইটি ভগ্নাংশের বিয়োগ করতে হলে, ভগ্নাংশ দুইটিকে সাধারণ হরবিশিষ্ট করে লব দুইটিকে বিয়োগ করলে বিয়োগফল হবে একটি নতুন ভগ্নাংশ, যার লব হবে সাধারণ হরবিশিষ্টকরণকৃত ভগ্নাংশ দুইটির লবের বিয়োগফল এবং হর হবে ভগ্নাংশ দুইটির হরের ল.সা.গু. ।
যেমন, a/xy – b/yz
= az/xyz – bx/xyz
= (az – bx)/xyz
উদাহরণ ৬ ।
বিয়োগফল নির্ণয় কর :
(ক) x/4a²bc2 – y/9ab2c3
(খ) x/(x – y)2 – (x+y)/(x2 − y2)
(গ) (a2 + 9y2)/(a2 – 9y2) – (a-3y)/(a+ 3y)
সমাধান :
(ক) x/4a²bc2 – y/9ab2c3
এখানে, হর 4a2bc2 ও 9ab2c3 এর ল.সা.গু. 36a2b2c3
x/4a2bc2 – y/9ab2c
= (9xbc-4ya)/36a2b2c3
(খ) x/(x – y)2 – (x+y)/(x2 − y2)
এখানে, হর (x − y)² ও x² – y² এর ল.সা.গু. (x − y)² (x + y)
x /(x-y)² – (x+y )/x²-y²
= x(x + y) − (x + y)(x − y)/ (x − y)²(x+y)
= x² + xy-x² + y²/(x − y)2(x+y)
= xy+ y²/ (x-y)2(x+y)
= y(x + y)/ (x − y)2(x+y)
= y (x − y)2
(গ) (a2 + 9y2)/(a2 – 9y2) – (a-3y)/(a+ 3y)
এখানে হর a2 – 9y2 ও a+ 3y এর ল.সা.গু. a2 – 9y2
(a²+9y2)/(a²-9y²) + (a-3y)/(a+3y)
= a²+9y2-(a-3y)(a−3y) /(a² -9y2)
= a²+9y2-(a² -6ay+9y²) /(a²-9y2)
= (a²+9y²-a²+6ay-9y2)/( a²-9y2)
= 6ay /(a²-9y2)
লক্ষণীয় :
বীজগণিতীয় ভগ্নাংশের যোগ ও বিয়োগ করার সময় প্রয়োজন হলে প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোকে লঘিষ্ঠ
আকারে প্রকাশ করে নিতে হবে ।
যেমন, a²bc/ab2c + ab2c /abc2 + abc2/a²bc
= a/b + b/с + a/a
= (a x ca)/(b x ca) + (b x ab)/(c x ab) + (c x bc)/(a x bc)
= ca²/ abc + ab²/ abc + bc2/abc [হর b,c, a এর ল.সা.গু. abc]
উদাহরণ ৭।
সরল কর :
(ক) (x-y)/(y + z)(z+x) + (y-z)/(x+y)(z+x) + (z-x)/ (x+y)(y + z)
(খ) 1/(x-2) – 1/(x+2) – 4/(x² +4)
(গ) 1/(1-a+a²) – 1/(1+a+a²) -2a/(1+a²+a4)
সমাধান :
(ক) (x-y)/(y + z)(z+x) + (y-z)/(x+y)(z+x) + (z-x)/(x+y)(y + z)
(x-y)/(y + z)(z+x) + (y-z)/(x + y)(z+x) + (z-x)/(x + y)(y + z)
= (x − y)(x + y) + (y − z)(y + z) + (z −x)(z+x)/(x+y)(y + z)(z+x)
= (x² – y²+ y² – z²+z² – x² )/(x+y)(y + z)(z+x)
= 0/(x+y)(y + z)(z+x) = 0
(খ) 1/(x-2) – 1/(x+2) – 4/(x² +4)
= (x+2-x+2)/(x-2)/(x+2) – 4/(x² +4)
= 4/(x² -4) – 4/(x² +4)
= 4[1/(x² -4) – 1/(x² +4)]
= 4[(x² +4 – x² +4)/ (x²-4)(x²+4)
= (4 x 8)/(x²-4)(x²+4)
= 32/ x4-16
(গ) 1/(1-a+a²) – 1/(1+a+a²) -2a/(1+a²+a4)
এখানে, 1+a²+a4 = 1+2a²+a4 – a²
=(1+a²)² – a²
=(1+a²+a)(1+a²-a)
= (a²+a+1)(a²-a+1)
এখানে, হর 1-a+a²,1+a+a² ও 1+ a² + a4 এর ল.সা.গু. (1+a+a²)(1−a+a²)
1/(1-a+a²) – 1/(1+a+a²) -2a/(1+a²+a4)
= (1+a+a²-1+a-a²-2a) /(1+a²+a)
= 0/(1+a²+a4)
= 0